专题18 两法解决三角函数的对称轴、对称中心问题-备战2022年高考数学之学会解题必备方法技巧规律（全国通用）

· 方法18 两法解决三角函数的对称轴、对称中心问题 基本原理 方法 解读 适合题型 典例指引 整体求解法 (1)求f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x. (2)求f(x)=Acos(ωx+φ)图象的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x. (3)求f(x)=Atan(ωx+φ)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z)即可 填空题或 解答题 例1 代入验证法 对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断 选择题 例2 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 例1（多选题）【2021届高三模拟冲关押题卷】已知函数的图象经过点，则（ ） A．点是函数的图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期是 C．函数的最大值为2 D．直线是图象的一条对称轴 解：因为函数的图象经过点，所以，得， 因为，所以， 所以 . 因为图象的对称中心是点， 所以令得 当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 因为函数的最小正周期，所以B错误；因为，所以的最大值为2，所以C正确；因为图象的对称轴方程是，， 所以令，，得，， 当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以D正确.故选：ACD. 【方法】整体求解法 例2【“超级全能生”2021届高三3月份联考】已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个对称中心是 D．在上单调递增 解：, 所以函数的最小正周期为，A错误； 当时，，故B正确； 当时，，故C错误；当，故，所以函数在该区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 【方法】代入验证法 最新模拟精选与提高 精选练习 自主解析 体会应用 1．【云南省曲靖市2021届高三二模】已知函数的图象经过点，则下列命题是真命题的是（ ） A．函数在上单调递增. B．函数的图象的一个对称中心是. C．是函数的一个周期. D．函数的图象的对称轴方程为（）. 解：因为函数的图象经过点，所以， 又，所以，故. 对于：因为在上单调递增，而时，不是的子区间，故错误； 对于：当时，，故错误； 对于：函数的最小正周期为，所以为函数的周期，故正确； 对于：令，解得，故错误． 故选：C． 【方法】整体求解法 2．【陕西省2021届高三下学期教学质量检测】函数，下列描述错误的是（ ） A．定义域是，值域是 B．其图象有无数条对称轴 C．是它的一个零点 D．此函数不是周期函数 解：对于A，易知定义域为，，， ，即的值域为，A正确； 对于B，由得：， 即， 即， 是函数图象的对称轴，故有无数条，B正确， 对于C，，是的一个零点，C正确； 对于D，，是函数的周期，D错误.故选：D. 【方法】整体求解法 3.【2021年秋季高三数学开学摸底】已知函数，则下列说法错误的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数的图象关于点中心对称 D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象 解：， A．最小正周期，故正确； B．因为为最小值，所以是图象的一条对称轴，故正确； C．因为，所以的图象不关于点中心对称，故错误； D．，的图象向右平移个单位后得到： ，故正确； 故选：C. 【方法】代入验证法 4．【四川绵阳南山中学2021届高三高考考适应性考试】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．是奇函数 B．的周期是 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 解：由题意可得， 对于A，函数是偶函数，A错误： 对于B，函数最小周期是，B错误； 对于C，由，则直线不是函数图象的对称轴，C错误； 对于D，由，则是函数图象的一个对称中心，D正确. 故选：D. 【方法】代入验证法 5．【全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考】已知函数()的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵ ∴. 又的图象关于坐标原点对称，∴，， ∴()， ∴当时，取得最小值， 故选：B. 【方法】整体求解法 6.【2021广东佛山质量检测】已知