专题12.1 探究全等三角形的常见模型-【满分计划】2021-2022学年八年级数学上册同步课时学优精练（人教版）

专题12.1 探究全等三角形的常见模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【模型1】 “一线三直角”模型 1、如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3） 【解析】解：（1）①证明：于点，于点，， ，， ．又，； ②证明：由①知，，，． ，； （2）证明：于点，于点， ，，．， 又，，，， ； （3）（或，）． 由（2）的方法证得△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CDCE=BEAD． 【模型2】 “倍长中线”模型 2、在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【解析】（1）延长到点，使，连接， ∵是的中线，∴， 在和中，，，， ∴，∴， 在中，， ∴，即，∴； （2）证明:延长到点使,连接， 由（1）知， ∴， ，， ，， ，，， （3）， 延长到，使，连接， ， ， ，，， 点在一条直线上， ，∴， ∴在和中， ，，， ∴≌，， ∵，． 【模型3】旋转模型 3、如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3） 【解析】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD， ∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴ △AEC≌△ADB（SAS） （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下： 将直线CE与AB的交点记为点O， 由（1）可知△AEC≌△ADB，∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， ∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB，∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°-∴∠CFA=∠DFC= 1、已知：如图，，，，，点是线段上一动点，点是直线上一动点，且始终保持． （1）证明：； （2）若点在线段上满足时，求的长？ （3）在线段的延长线上，是否存在点，使得，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）5cm；（3）存在，11cm 【解析】解：（1）∵，，∴， ∵，∴， ∴，， ∴ （2）∵在和中 ∴，∴， ∴ （3）存在，理由如下： ∵，，∴， ∵，∴， ∴，，∴； ∵在和中 ∴，、∴， ∵，BD=8cm ∴． 2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E． （1）求证：△BCE≌△CAD； （2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：　 　． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝BE+DE 【解析】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA， 在△BCE和△CAD中， ，∴△BCE≌△CAD（AAS）； （2）∵△BCE≌△CAD， ∴BE＝DC，AD＝CE，∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE， 故答案为：AD＝BE+DE． 3、如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 【答案】（1）；（2）线段ED的长度保持不变. 【解析】解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F， ∵点P和点Q同时出发，且速度相同， ∴BP=CQ， ∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB