专题08 相似三角形的判定与性质-【挑战压轴题】2021-2022学年九年级数学上册压轴题专题精选汇编（北师大版）

2021-2022学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编 专题08 相似三角形的判定与性质 一．选择题 1．（2020秋•庐阳区校级期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D．过点D作DE∥BC交AB于点E，若AE：BE＝3：2，且△ADE的面积为3，则△BCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引导】先由DE∥BC证明△ADE∽△ACB，由此得△ADE与△ACB的面积之比为：9：25，再由AE：BE＝3：2得△ADE与△DEB的面积之比为：9：6，故△ADE与△DCB的面积之比为：9：10，即可得到答案． 【完整解答】解：∵AE：BE＝3：2， ∴AE：BA＝3：5， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴△ADE与△ACB的面积之比为：9：25， ∵AE：BE＝3：2， ∴△ADE与△DEB的面积之比为：9：6， ∴△ADE与△DCB的面积之比为：9：10， ∵△ADE的面积为3， ∴△BCD的面积为， 故选：D． 2．（2020秋•仁寿县期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，DG⊥AC于G，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②AF＝AG；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】根据矩形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°，利用∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA可判断△AEF∽△CAB，则可对①进行判断；通过证明EF∥DG，则利用平行线分线段成比例得到＝＝，则可对②进行判断；利用△AEF∽△CAB得到＝＝，所以AF＝FG＝CG，于是得到DG垂直平分CF，则可对③进行判断；设△AEF的面积为S，利用三角形面积公式得到S△DEF＝S，S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S，然后利用△AEF∽△CAB得到＝＝，所以S△ABF＝2S，则S四边形CDEF：S△ABF＝（S+2S+2S）：2S，于是可对④进行判断． 【完整解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90° ∵AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵BE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∵∠AFE＝∠CBA，∠EAF＝∠BCA， ∴△AEF∽△CAB，所以①正确； ∵BE⊥AC，DG⊥AC， ∴EF∥DG， ∴＝， 而E是AD边的中点， ∴AE＝AD， ∴AF＝AG，所以②正确； ∵AE＝AD，AD＝BC， ∴AE＝BC， ∵△AEF∽△CAB， ∴＝＝， ∵AF＝FG， ∴AF＝FG＝CG， ∴DG垂直平分CF， ∴DC＝DF，所以③正确； 设△AEF的面积为S，则S△DEF＝S， ∴S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S， ∵△AEF∽△CAB， ∴＝＝， ∴S△ABF：S△AEF＝1：2， 即S△ABF＝2S， ∴S四边形CDEF：S△ABF＝（S+2S+2S）：2S， ∴S四边形CDEF＝S△ABF．所以④错误． 故选：C． 3．（2020秋•崇左期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，则tan∠DAC的值为（　　） A． B． C． D． 【思路引导】由BD：CD＝3：2，设BD＝3x，CD＝2x，通过证明△ABD∽△CAD，列比例式计算可求解AD＝x，再利用解直角三角形可求解． 【完整解答】解：∵BD：CD＝3：2， ∴设BD＝3x，CD＝2x， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDA＝90° ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∴△ABD∽△CAD， ∴BD：AD＝AD：CD， 即3x：AD＝AD：2x， 解得AD＝x， ∴tan∠DAC 故选：B． 4．（2020秋•望江县期末）如图，BD∥CE，AB＝BC，若BD＝3，则CE的长是（　　） A． B．2 C． D．5 【思路引导】证明△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【完整解答】解：∵BD∥CE， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵BD＝3， ∴， ∴CE＝5． 故选：D． 5．（2021春•淮阳区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2BC．AE平分∠BAD，交CD于点E，点F为AB边的中点，AE与DF交于点M，BD与EP交于点N，连接MN．则下列结论：①四边形ADEF是菱形；②与△BFN全等的三角形有5个；③S四边形BCEN＝7S△FMN；④当FM＝FN时，∠BAD＝60°．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【思路引导】①根据四边形ABCD是平行四边形，可得：AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，再由AE平分∠B