专题05 一元二次方程根与系数的关系-【挑战压轴题】2021-2022学年九年级数学上册压轴题专题精选汇编（北师大版）

2021-2022学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编 专题05 一元二次方程根与系数的关系 一．选择题 1．（2021春•夏津县期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【思路引导】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2﹣2可化为为3（x1+x2）+x1x2﹣3，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【完整解答】解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根， ∴x12﹣3x1+1＝0， ∴x12＝3x1﹣1， ∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3， ∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7． 故选：D． 2．（2021•滨州）下列一元二次方程中，无实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0 【思路引导】计算出各个选项中的Δ的值，然后根据Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ＝0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根判断即可． 【完整解答】解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意； 在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意； 在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意； 在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（2021春•大连期末）关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0 【思路引导】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到﹣k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣k）×3＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【完整解答】解：根据题意得﹣k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣k）×3＞0， 解得k＞﹣3且k≠0． 故选：D． 4．（2021春•渝中区校级期末）若a满足不等式组，且关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0有实数根，则满足条件的实数a的所有整数和为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．0 【思路引导】由a满足不等式组，可得出a＜1，由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a≥﹣且a≠2，结合a＜1可得出﹣≤a＜1，将其中的整数值相加即可得出结论． 【完整解答】解：∵a满足不等式组， ∴a＜1； ∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0有实数根， ∴， ∴a≥﹣且a≠2． 又∵a＜1， ∴﹣≤a＜1， ∴a的整数值为﹣2，﹣1，0， ∴﹣2+（﹣1）+0＝﹣3． 故选：C． 5．（2021春•九龙坡区期末）若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜ B．a＜且a≠﹣1 C．a＞ D．a＞且a≠﹣1 【思路引导】根据关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根知（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，解之即可． 【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0， 解得a＜且a≠﹣1， 故选：B． 6．（2021春•九龙坡区期末）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有实数根的所有满足条件的整数a的和为（　　） A．3 B．5 C．9 D．10 【思路引导】解不等式组得出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的范围，由方程有实数根知Δ＝22﹣4×（a﹣2）×1≥0且a﹣2≠0，解得a≤3且a≠2，继而可得在﹣1≤a＜4符合条件的整数和． 【完整解答】解：解不等式3x＞2（x﹣2），得：x＞﹣4， 解不等式3x﹣≤a，得：x≤， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴0≤＜1， 解得﹣1≤a＜4， ∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有实数根， ∴Δ＝22﹣4×（a﹣2）×1≥0且a﹣2≠0， 解得a≤3且a≠2， ∴在﹣1≤a＜4符合条件的整数和为﹣1+