专题03 正方形的性质与判定-【挑战压轴题】2021-2022学年九年级数学上册压轴题专题精选汇编（北师大版）

2021-2022学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编 专题03 正方形的性质与判定 一．选择题 1．（2021春•河东区期末）下列说法中： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形； ④对角线互相垂直的四边形是菱形． 正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①是错误的，可以举一个反例，例如等腰梯形，不是平行四边形，对角线相等的平行四边形才是矩形，可以举反例，例如等腰梯形，故②是错误的，有一组邻边相等的矩形是正方形，这是正方形的判定定理，故③是正确的，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，举反例，只要画两条垂直线段，顺次连接线段四个端点，构造出的四边形是任意一个四边形，故④是错误的． 【完整解答】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，正确的说法是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①是错误的， 对角线相等的四边形也有可能是等腰梯形，正确的说法是：对角线相等的平行四边形是矩形，故②是错误的， 有一组邻边相等的矩形，这是正方形的判定定理，故③是正确的， 对角线互相垂直的四边形不能判定是菱形，只需要画两条垂直线段，将线段四个端点依次连接，构造出来的四边形可能不是菱形，正确的说法是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故④是错误的， 所以正确的个数是1个， 故选：A． 2．（2021春•青秀区校级期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A．较小两个正方形重叠部分的面积 B．最大正方形的面积 C．最大正方形与直角三角形的面积和 D．直角三角形的面积 【思路引导】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【完整解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2＝a2+b2， 阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c）， 较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a， 则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c）， 因此知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：A． 3．（2021春•沙坪坝区期中）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，若AE＝AB，则∠EBC的度数为（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【思路引导】由正方形的性质可得∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，由等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠AEB＝67.5°，即可求解． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°， ∴∠EBC＝22.5°， 故选：A． 4．（2021春•中山区期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且AF⊥BE，垂足为G，则下列结论：①BE＝AF；②∠AFB+∠BEC＝90°；③∠DAF＝∠ABE；④BF＝CE． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】根据正方形性质和SAS证明△ABF≌△BCE，利用三角形全等可证明． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC， ∵BF＝CE， ∴△ABF≌△BCE（SAS）， ∴AF＝BE（①正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（②错误）， ∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°， ∴∠DAF＝∠ABE（③正确）， ∵△ABF≌△BCE， ∴BF＝CE（④正确）， 故选：C． 5．（2021春•临沧期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF，则下列结论中，不正确的是（　　） A．AP＝EF B．AP⊥EF C．PD＝2EC D．BP2+DP2＝2AP2 【思路引导】连接PC，延长AP，FP交EF，AB于点G，H，结合正方形的对称性和勾股定理进行求解． 【完整解答】解：连接PC，延长AP，FP交EF，AB于点G，H，如图， ∵正方形ABCD关于BD对称， ∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP， ∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF，∠FEC＝∠PCE，PF＝CE， ∴AP＝EF，故A选项不符合题意， ∵∠EPG+∠HPA＝∠HPA+∠BAP＝90°， ∴∠EPG＝∠BAP＝∠BC