专题02 矩形的性质与判定-【挑战压轴题】2021-2022学年九年级数学上册压轴题专题精选汇编（北师大版）

2021-2022学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编 专题02 矩形的性质与判定 一．选择题 1．（2021•黄州区校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，S△ABE＝S△ADF＝，则＝（　　） A．3 B． C．5 D． 【思路引导】由面积关系可得BE＝BC，DF＝DC，可求S△EFC＝S矩形ABCD，可求S△EFC的面积，即可求解． 【完整解答】解：∵S△ABE＝S△ADF＝， 即BE•AB＝AD•DF＝AB•BC＝AD•CD， ∴BE＝BC，DF＝DC， ∴EC＝BC，CF＝CD， ∴S△EFC＝×EC×CF＝×BC×CD＝S矩形ABCD， ∴S△AEF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△EFC＝S矩形ABCD， ∴＝3， 故选：A． 2．（2021春•眉山期末）如图，在矩形ABCD中，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝3，AE＝9，则AB的长为（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【思路引导】由平行线的性质和角平分线的性质可得BE＝BD，在Rt△ADB中，由勾股定理可求AB的长． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB， ∴∠CDE＝∠E． 又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E， ∴∠CDE＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠E． ∴BE＝BD． ∵AE＝9， ∴BD＝BE＝9﹣AB． ∵DB2＝AD2+AB2， ∴（9﹣AB）2＝9+AB2， ∴AB＝4， 故选：B． 3．（2021春•秦淮区月考）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　） A．15 B．16 C．22 D．28 【思路引导】根据矩形的性质得出AB＝DC，AD＝BC，∠C＝90°，AD∥BC，根据勾股定理求出DC，求出AB＝BE，求出BC，即可得出答案． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，AD＝BC，∠C＝90°，AD∥BC， ∵ED＝5，EC＝3， 在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC＝＝4， ∴AB＝DC＝4， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠EAB＝∠AEB， ∴BE＝AB＝4， ∵CE＝3， ∴AD＝BC＝BE+CE＝7， ∴矩形ABCD的面积是4×7＝28， 故选：D． 4．（2021春•德阳期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（　　） A．1+ B．1+ C．3 D． 【思路引导】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE＝，OE＝1，再根据OC≤CE+OE＝1+，即可得到点C到原点O距离的最大值是1+． 【完整解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC， ∵∠AOB＝90°， ∴Rt△AOB中，OE＝AB＝1， 又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1， ∴Rt△CBE中，CE＝， 又∵OC≤CE+OE＝1+， ∴OC的最大值为1+， 即点C到原点O距离的最大值是1+， 故选：A． 5．（2021春•阿拉尔期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【思路引导】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB，由勾股定理求出OD即可． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴OA＝AB＝OB， ∵AE＝2， ∴OE＝2， ∴OD＝OB＝2OE＝4； 故选：C． 6．（2021春•广安期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（　　） A．60 B．50 C．40 D．30 【思路引导】根据直角三角形的性质得到AB＝2CD，求得AB＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【完整解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点， ∴AB＝2CD， ∵CD＝6， ∴AB＝12， ∵CE⊥AB于点E，CE＝5， ∴△ABC的面积＝AB•CE＝×12×5＝30， 故选：D． 7．（2021春•九龙坡区期末）如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥BG交CD于点E，CB＝CE，连接CG交BE于点F，则∠ECF的度数为（　　） A．30° B．22.5° C．25° D．15° 【思路引导】取BE的中点O，连接OG，OC，则OG为四边形ADEB的中位线，可得AB∥OG∥DE，进而求