2.1等式性质与不等式性质(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第一册)

2.1等式性质与不等式性质 -----典例精讲 一、等式 【例1】(技巧点拨：一元二次方程型）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ） A．4 B．-10 C．2 D．-10或2 【答案】C 【分析】 用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得． 【详解】 方程有实根，则，解得 或，设方程的两根为，则， ，∴，解得 （舍去）．故选：C． 【例2】(技巧点拨：消等式元与代换型）已知，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先将变形为，再代入不等式，，解这两个不等式，即可得与的比值关系，联立可求的取值范围 【详解】 解：因为，所以，，因为， 所以，即，解得，将代入中，得， 即，得，所以，故选：A 【例3】(技巧点拨：等式放缩型）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由放缩法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】 ，，可得.同理 显然，只有x是确定正数。y'和z不确定正负，由此可知A.B.D都错误。 或者代特殊值：取，，，则A、D选项中的不等式不成立； 取，，，则B选项中的不等式不成立； 且，由不等式的基本性质得，C选项中的不等式成立. 故选：C. 【例4】(技巧点拨：构造等式-整体化法）已知实数满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令，，则，然后根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】 解：令，，则，则，， ，又，，∴，故选：B． 【例5】(技巧点拨：构造等式-待定系数法）若，满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 化，利用对应系数解方程求得，再利用不等式性质求范围即可 【详解】 ，则 ，则 故选：B 【例6】(技巧点拨：构造等式-实际应用题）小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ） A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定 【答案】B 【分析】 设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，令，根据待定系数法求得，借助不等式性质即可证得. 【详解】 设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：， 令，则，解得： ，因此.所以2枝玫瑰的价格高. 故选：B 【例7】(技巧点拨：构造等式-判别式法）实数x，y满足x2＋2xy＋4y2＝1，则x＋2y的取值范围是__________. 【答案】 【分析】 利用换元法令，由此化简已知等式，结合二次函数判别式为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】 设x＋2y＝t，则，代入x2＋2xy＋4y2＝1得：x2－tx＋t2－1＝0， 则＝t2－4(t2－1)≥0，解得.故答案为： 【对点实战】 1、某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（ ） A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定 【答案】A 【分析】 设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意得到的取值范围，利用待定系数法将表示为的线性组合，然后利用不等式的基本性质和作差法比较的大小关系即可. 【详解】 解：设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意可得：（*）， 令，则，解得：， ，由（*）得,, ,，因此． 所以2枝红玫瑰的价格高．故选：A. 2、给出下列四个命题，①若，则；②若，则；③当时，若，则；④当时，若，则． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 对①，利用特值法即可判断①错误；对②，利用函数在上为增函数即可判断②正确；对③，利用平方差公式即可判断③正确；对④，利用立方差公式即可判断④正确. 【详解】 对①，若，，满足，则，故①错误. 对②，因为在上为增函数，若，则，故②正确. 对③，因为，所以，即. 因为，所以，即，故③正确. 对④，因为，所以，即 因为，所以，故，即，故④正确. 故选：C 二、常规不等式证明和推导积累 【例8】(技巧点拨：糖水不等式）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A．若，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，则 C．若，则 D．若，则一定有 【答案】CD