1.5全称量词与存在量词(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第一册)

1.5全称量词与存在量词 -----典例精讲 一、全称和存在量词 【例1】(技巧点拨：全称量词概念 ）下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称命题的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【详解】 ①和④中用的是存在量词“至少有一个”“ 存在”，属特称命题；②和③用的是全程量词“任意的”，属全程命题，所以B正确 【例2】(技巧点拨：全称量词概念 ）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（ ） A．至少有一个x使成立 B．对任意的x都有成立 C．对任意的x都有不成立 D．存在x使成立 E.矩形的对角线垂直平分 【答案】BCE 【分析】 根据存在量词与全称量词命题的定义判断． 【详解】 A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题； B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题； E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题. 故选：BCE 【例3】(技巧点拨：存在量词概念 ）以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是 A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】B 【分析】 由题意逐一考查所给的命题是否是存在量词命题和真命题即可. 【详解】 逐一考查所给的命题： A选项为全称量词命题，且所给的命题为假命题； B选项为存在量词命题，且所给的命题为真命题； C选项为全称量词命题，取，则为有理数，所给的命题为假命题； D选项为存在量词命题，若，则，所给的命题为假命题. 故选B. 【例4】(技巧点拨：存在量词判断命题真假 ）（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（ ） A．， B．至少有一个，使能同时被2和3整除 C．， D．有些自然数是偶数 【答案】ABD 【分析】 对于选项A、B、D能找到一个值使命题成立，而不存在任何实数满足，从而得出选项. 【详解】 A中，时，满足，所以A是真命题； B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题； D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题； C中，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题． 故选ABD． 【例5】(多选)下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（ ） A．对于实数，有 B．所有能被3整除的整数都是奇数 C．有小于1的自然数 D．函数的图象过定点 【答案】AD 【分析】 A. 根据全称量词命题的定义和判断；B. 根据全称量词命题的定义和举特例判断；C.根据全称量词命题的定义判断；D. 根据全称量词命题的定义和验证法判断； 【详解】 A. 对于实数，是指所有的实数，又，故正确； B.如12，能被3整除，但不是奇数，故错误； C.“有”是存在量词，故错误； D. ，是所有的实数，又，所以函数的图象过定点，故正确； 故选：AD 【对点实战】 1、（多选）下列说法中正确的个数是（ ） A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题 B．命题“”是全称量词命题 C．命题“，”是存在量词命题 D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题 【答案】BC 【分析】 根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D. 【详解】 A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误； B中命题“”是全称量词命题,故B正确； C中命题“,”是存在量词命题,故C正确； D中选项中当时，即当时，方程没有实数根,因此，此命题为假命题. 故选：BC 2、（多选）下列存在量词命题中真命题是（ ） A． B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 C．是无理数，是无理数 D． 【答案】ABC 【分析】 结合例子，逐项判断即可得解. 【详解】 对于A，，使得，故A为真命题. 对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题； 对于C，若，则是无理数，是无理数，故C为真命题. 对于D，，∴为假命题. 故选：ABC. 二、全称和存在命题的否定 【例6】(技巧点拨：量词否定的概念 ）命题“对任意,都有”的否定为 A．对任意,都有 B．不存在,都有 C．存在,使得 D．存在,使得 【答案】D 【详解】 命题“对任意,都有”的否定为:存在,使得,选D. 【例7】(技巧点拨：命题否定的真假判断 ）（多选）下列命题的否定中，真命题的是（ ） A．， B．所有正方形既是矩形也是菱形 C．， D．所有三角形都有外接圆 【答案】AC 【分析】 判断各选项中命题的真假，进而可判断出各选项中命题否定的真假，由此可得出合适的选项. 【详解】 选项A，，所以原命题为假命