《创新方案》2013-2014学年高中数学北师大版必修三同步课堂名师章节精讲：第一章 统计（8份）

2.2　分层抽样与系统抽样 [读教材·填要点] 1．分层抽样的概念 将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样． 2．系统抽样的概念 系统抽样是将总体的个体进行编号，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔(称为抽样距)抽取其他样本． 系统抽样又叫等距抽样或机械抽样． [小问题·大思维] 1．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？ 提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理，更具有代表性，所以将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体． 2．系统抽样的第二步中，当不是整数时，从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？影响系统抽样的公平性吗？ 提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样抽取，不影响系统抽样的公平性． [研一题] [例1]　某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？ [自主解答]　因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理． 因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取： 青年职工400×＝200(人)； ＝120(人)；中年职工400× 老年职工400×＝80(人)． 由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是.，所以每人被抽到的可能性相同，均为＝ [悟一法] 分层抽样的步骤： (1)根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层； (2)根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比 k＝； (3)确定第i层应该抽取的个体数目ni＝Ni×k(Ni为第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n； (4)在各层中，按步骤(3)中确定的数目在各层中随机地抽取个体，合在一起得到容量为n的样本． [通一类] 1．某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程． 解：第一步：样本容量与总体容量的比为＝15(家)；第三步：采用简单随机抽样在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，综合每层抽样即得样本.＝4(家)，小型商店：150×＝2(家)，中型商店：40×；第二步：确定各种商店要抽取的数目：大型商店：20×＝ [研一题] [例2]　相关部门对某食品厂生产的303盒月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样法完成对此样本的抽取． [自主解答]　第一步　将303盒月饼用随机的方式编号． 第二步　从总体中剔除3盒月饼，将剩下的300盒月饼重新编号(分别为000,001，…，299)，并分成10段． 第三步　在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码l. 第四步　将编号为l，l＋30，l＋2×30，…，l＋9×30的个体取出，组成样本． [悟一法] 1．当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号(s＋k)，再加k得到第3个个体编号(s＋2k)，依次进行下去，直到获得整个样本． 2．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除，然后再按系统抽样方法抽取样本． [通一类] 2．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程． 解析：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000. (2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体． (3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56. (4)以56作为起始数，然后依次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到容量为150的一个样本. [研一题] [例3]　选择恰当的抽样方法，并写出抽样过程． (1)有30个篮球，其中，甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，现抽取10个作样品； (2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，现取出3个作样品； (3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个作样品； (4)有甲厂生产的300个篮球，从中抽取30个作样品． [自主解答]　(1)因总体是由差异明显的几部分构成，可采用分层抽样的方法抽取． 第一步　确定抽取个数．