第3讲 聚焦绝对值-2021-2022学年七年级数学上册精选专题演练(苏科版)

第3讲 聚焦绝对值 【知识图谱】 【知识清单】 1. 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|. 拓展：表示数a、数b的两点之间的距离. 2. 绝对值的运算法则 3. 绝对值的基本性质 (1) ；(2)；=；(3) ； (4)；(5). 【典型例题】 【例题1】（1）如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ． （2）如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ； （3）如果｜x｜＞3，那么x的取值范围是 ． 【答案】（1）6或-6；（2）1或3；（3）或；（4）2x﹣3． 【例题2】（1）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|=　 ． 【答案】2x﹣3． 【解析】 解：原式=x+1﹣（﹣x+4）， =x+1+x﹣4， =2x﹣3. （2）已知：数，在数轴上的位置如图所示，化简：. 【解析】解：由题意，得， 则， 所以． 【例题3】（1）若，求的相反数． 【答案】-4 【解析】 解：∵ ∴ 解得 ∴ ∴的相反数是． （2）已知|m+n|+|m|=m，且|2m-n-2|=0，求mn的值． 【答案】 【解析】解：∵|m+n|+|m|=m，|2m-n-2|=0， ∴m+n=0，2m-n-2=0且m≥0， 即， 解得：， 则mn=. 【例题4】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则 ==1+1+1=3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则 ==1+（1）+（1）=1． 综上所述：值为3或1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|=ab时，则的值是______； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0，求的值． 【答案】（1）0；（2）-3，1；（3）-1． 【解析】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|=-ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0， 当a＞0，b＜0时，＝＝1−1＝0； 当 a＜0，b＞0时，＝＝−1+1＝0． （2）∵abc＜0，∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则：==-1-1-1=-3； ②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 则==-1+1+1=1； （3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c=0得，a+b=-c，c+a=-b，b+c=-a． a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， ==1-1-1=-1． 【例题5】阅读下面的材料： 　　点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图①,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时: 　　 图① 图② 图③ 图④ ①如图②，点A、B都在原点的右边: 　　　∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； ②如图③，点A、B都在原点的左边: 　　　∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣； ③如图④，点A、B在原点的两边: 　　　∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣， 综上：数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　 回答下列问题: 　①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________； 　②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________． 　③求∣x+1∣+∣x-2∣的最小值． ④求的最小值. 【解析】 ①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4． ②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣． ∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2， ∴x+1=2或-2，∴x=1或-3． ③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2． 　将-1、2在数轴上表示出来，如图， 　则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2． 　当x＜-1时