1.1集合的概念(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第一册)

1.1集合的概念 -----典例精讲 一、准确理解集合所描述的对象 【例1】（准确理解集合元素：数集、点集）下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}． （1）它们各自的含义是什么？ （2）它们是不是相同的集合？ 【答案】（1）各个含义见解析；（2）不同的集合. 【分析】 （1）可以看出①函数的自变量当元素，②的元素是该函数的因变量，而③的元素是，构成的点，从而得出这三个集合分别表示函数的定义域，值域，以及函数图象上的点集． （2）是不是相同的集合，就要看它们的元素是否完全相同，容易判断这三个集合的元素是否相同，从而可得结论. 解：（1）集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R， 所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R； 集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1， 所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}； 集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1， 所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}． （2）由（1）中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合． 【例2】(难点：点集---数形结合）设集合，则中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 根据不等式的特征用列举法表示集合进行求解即可. 【详解】因为，所以当时，由可得：； 当时，由可得：； 当时，由可得：， 当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立， 所以, 因此中元素的个数为5. 故选：C 【对点实战】 1、设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】 将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）. 【详解】 对于（1），由，得，一一对应，则 对于（2），由，得，一一对应，则 对于（3），由，得，一一对应，则 对于（4），，但方程无解，则与不相同,故选：B 2、用描述法表示一元二次方程的全体，应是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】 根据描述法的格式与一元二次方程的一般形式求解即可 【详解】 ∵一元二次方程的一般形式是，且， 则描述法表示一元二次方程的全体构成的集合为：且 故选：D. 二、集合和元素的关系 【例3】（元素和集合的关系）集合，，，则对任意的，有下列四种说法：①； ②；③；④，其中一定正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据集合M，N，O中元素的性质，分别判断mn，，，on，即可得出结论． 解：因为，，，，所以，且， 所以；又又不一定是2的倍数， 所以不一定属于集合O；因为，且，所以； 因为， 所以又不一定是2的倍数，所以不一定属于集合O． 所以只有③一定正确，则一定正确的个数为1．故选：A． 【对点实战】 3、(多选)设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有 （ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明. 【详解】 ∵，∴. ∵，∴. ∵，∴. 若，则存在使得， 则和的奇偶性相同. 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立； 若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴. 故选ABD. 三、相等集合 【例4】（用好“互异”性）设a，b∈R，集合，则b－a=_____________． 【答案】2 【分析】 根据相等集合的定义进行运算求解即可. 【详解】 ∵ ，∴ a+b=0或a=0（舍去，否则无意义）， ∴ a+b=0，，∴－1∈，a=－1， ∵ a+b=0，b=1，∴ b－a=2． 故答案为：2 【例5】（元素整体特征）（多选）下列选项中的两个集合相等的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】 对选项逐一分析集合的元素，从而求得正确选项. 【详解】 选项A中集合都表示所有偶数组成的集合，所以； 选项B中是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，，所以； 选项C中，当为奇数时，当为偶数时，，所以，； 选项D中集合、的研究对象不相同，所以． 故选：AC 【对点实战】 4．已知集合，则下列集合中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用集合相等的定义即可判