2.1.2基本不等式（备作业）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（湘教版新教材必修第一册）

2.1.2基本不等式 一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。 1．已知x>0，y>0，且，则x+y的最小值是（　　） A．10 B．15 C．18 D．23 2．已知，且，若不等式恒成立，．则m的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，，且，，，那么的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 4．设，，且，则当取最小值时，（ ） A．12 B．8 C．16 D． 5．已知，，且，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C． D． 6．设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ） A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4] 8．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。 9．已知，则下列结论正确的是（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．已知，则( ) A．的最大值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 11．有下面四个不等式，其中恒成立的有（ ） A． B． C． D． 12．设且，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题。本大题共4小题。 13．已知正实数，满足，则的最小值为______． 14．若点在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为______. 15．设，若恒成立，则k的最大值为___________. 16．设，则的最大值为________. 四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17．（1）已知，求的最小值． （2） 已知是不全相等的实数，求证：． 18．设，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 19．已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 20．设，已知函数. （1）当，请写出函数的增区间；（不需要证明） （2）若存在实数a，使不等式在区间上恒成立，求实数b的取值范围. 21．已知函数， （1）求不等式的解集； （2）若对一切的实数，均有成立，求实数的取值范围. 22．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $2.1.2基本不等式 一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。 1．已知x>0，y>0，且，则x+y的最小值是（　　） A．10 B．15 C．18 D．23 【答案】C 【解析】由x>0，y>0，且，得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是18． 故选：C． 2．已知，且，若不等式恒成立，．则m的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】∵ 不等式恒成立 ∴ 又，， ∴ ， 当且仅当时等号成立， ∴ ， ∴ ，又， ∴ ， 故选：A. 3．已知，，且，，，那么的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】根据题意，，，， 则，当且仅当时等号成立， 即的最大值为1. 故选： 4．设，，且，则当取最小值时，（ ） A．12 B．8 C．16 D． 【答案】A 【解析】∵，，∴当取最小值时，取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，当且仅当即时取等号， ∴，∴， ∴. 故选：A 5．已知，，且，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，时，等号成立． 故选：C 6．设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A，因为a､b是正实数，所以，则，可得到，当且仅当时等号成立，故选项A错误； 对于选项B，因为a､b是正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C，，当且仅当时取等号，故选项C错误； 对于选项D，，则恒成立，故选项D正确； 故选：D. 7．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ） A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4] 【答案】C 【解析】由题意可得对任意恒成立， 由，可得， 当且仅当即时，取得等号，则，解得. 故选：C. 8．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解析：法一：由题意，得，，且，即，亦即，由基本不等式，得，解得（当且仅当时，取等号）， 所以的最小值为. 法二：由，得. 因此（当且仅当时，取等号） ，所以的最小值为.