3.2 基本不等式-2021-2022学年高一数学同步专项练习（北师大版2019必修第一册）

基本不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质，赋值，如，即可判断A、B、C，再根据基本不等式即可判断D. 【详解】 解：由，令， 则，则，故A错误； 则，则，故B错误； 则，则无意义，故C错误； 因为，则，所以. 故选：D. 2．已知，则的最小值为（ ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】C 【分析】 利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由于，所以， 当且仅当时等号成立. 故选：C 3．已知，，且，，，那么的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】 根据题意，由基本不等式的性质可得，即可得答案. 【详解】 根据题意，，，， 则，当且仅当时等号成立， 即的最大值为1. 故选： 4．已知，，且，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】 利用基本不等式“1的代换”即可求出最小值. 【详解】 因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，时，等号成立． 故选：C 5．已知，当取最小值时，则a等于（ ） A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】 直接利用基本不等式即可得出答案. 【详解】 解：∵，当且仅当，即或（舍去）时， ∴当取最小值时，． 故选：A. 6．若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为，则， 则， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值. 故选：C. 7．若正实数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据基本不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【详解】 因为a，b是正实数， 所以有， 因为a，b是正实数，所以，因此有， 故选：B 8．已知，，且，则的最小值是（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】 根据已知条件，化简可得，可得，再展开利用基本不等式即可. 【详解】 ∵，，， ∴同除得， ∴.当且仅当即时取等号． 故选：B 9．已知，则的最小值是（ ） A．15 B．6 C．60 D．1 【答案】C 【分析】 题目考察基本不等式公式的直接应用，直接应用公式即可求解 【详解】 解析：因为（当且仅当时，取等号）, 所以, 所以, 所以的最小值为. 故选: C 10．若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由，令，利用不等式的性质即可求得的范围． 【详解】 解：， 又， ，令， 则， ，即，当且仅当时，取等号， 的取值范围是，． 故选：A． 二、多选题 11．有下面四个不等式，其中恒成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 对于A：取特殊值，否定选项A； 对于B：直接利用基本不等式证明； 对于C：直接利用基本不等式证明； 对于D：取特殊值，否定选项D. 【详解】 对于A：取，则，所以不成立，故A错误； 对于B：，当且仅当a=1-a，即时等号成立，故B正确； 对于C：因为，所以；同理可证：，， 相加得：.即证.故C正确； 对于D：取，则，所以不成立.故D错误. 故选：BC. 12．下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．的最小值为2 C．若，则 D．最小值为 【答案】CD 【分析】 A.考虑的情况；B.考虑的正负；C.根据不等式的性质判断；D.利用配凑法结合基本不等式求解最小值. 【详解】 A.当时，若，则不成立，故错误； B.当时，，取等号时， 当时，，取等号时，故错误； C.由“不等式两边同时加上或减去一个实数，不等号不改变”可知正确； D.因为 ， 取等号时，即，故正确； 故选：CD. 13．下列说法中正确的为（ ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为 C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D．若正实数，，满足，则 【答案】BCD 【分析】 根据各选项中的命题的条件逐一分析、推理并判断作答. 【详解】 对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素，于是有或，A不正确； 对于B，因一元二次不等式的解集为，则，解得，B正确； 对于C，当时，，当时，或，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，因正实数满足，则， 当且仅当，即时取“=”，D正确. 故选：BCD 14．几何原本中的几何代数法以几何方法研究代数问题成为了后世数学家处理问题的重要依据通过这一原理，很多代数的公理或定理都能