专题05 正方形的综合运用（常考模型）-2021-2022学年九年级数学上册培优专项考点突破（北师大版）

专题5 正方形的综合运用（常考模型） 该题型在考试中是属于必考题型，考察的方式很多样，主要原因是正方形会和其他很多知识相结合，所以题型繁多，在这里我希望能通过总结分类，对常考的类型进行分析和训练 （1） 正方形与等边三角形 思路1：图中的AB、BC、CD、AD、AE、DE均相等，可以得到等腰三角形ABE 思路2：∠BAE=150°，延长BA可得30°，从而可以利用1：2： （2） 正方形与K型全等 思路1：在AB上截取AG=EC，连接GE，可得K型全等：▲AGE▲ECF 思路2：过点F作FG⊥EC，可得K型全等▲ABE▲EGF （3） 正方形与手拉手全等（小风车模型） 思路1： （4） 正方形构造直角三角形 思路1：连接AC、CF，可得Rt 思路2：可利用斜边中线等于斜边一半的知识，得CT=AF （5） 半角模型 思路1：将旋转90°，得 思路2： 思路3：得出重要结论AE+CF=EF 1．如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点E在BC的延长线上，且CE＜BC，连接BG并延长交DE于H． （1）写出BH与DE的位置关系，并证明； （2）求证：∠BHC＝45°． 2．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，交DG于点P． （1）求证：BH＝EC． （2）若AB＝3，EC＝4，则DP的长是　 　． 3．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°． （1）求证：EF＝AE+CF； （2）当AE＝1时，求EF的长． 4．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N． （1）求证：PM＝PN； （2）求证：EM＝BN． 5．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：OM＝ON； （2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长． 6．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）如图1，求证：AE＝EF； （2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长． 7．已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM． （1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论； （2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论． 8．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论） 9．如图1，过▱ABCD的对角线交点作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE． （1）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由． （2）如图2，如果四边形ABCD是正方形，其它条件不变，试判断四边形EFGH的形状并说明理由． 10．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF＝BE； （2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $专题5 正方形的综合运用（常考模型） 该题型在考试中是属于必考题型，考察的方式很多样，主要原因是正方形会和其他很多知识相结合，所以题型繁多，在这里我希望能通过总结分类，对常考的类型进行分析和训练 （1） 正方形与等边三角形 思路1：图中的AB、BC、CD、AD、AE、DE均相等，可以得到等腰三角形ABE 思路2：∠BAE=150°，延长BA可得30°，从而可以利用1：2： （2） 正方形与K型全等 思路1：在AB上