专题18 《图形的相似》重难考点-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题18《图形的相似》重难考点 1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值. 【解析】 　　 ∵a:b:c=3:5:7 　　 设a=3k, b=5k, c=7k 　　 ∵2a+3b-c=28 　　 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2 　　 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 【总结】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解. 2. 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？ 【解析】 ∵AC=a，BC=b， ∴AB=， ①当△ABC∽△BDC时， , 即. ②当△ABC∽△CDB时， ， 即. 【总结】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论. 3.　已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE． 【解析】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=BD， ∵OE=OB， ∴OE=BD， ∴∠BED=90°， ∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠CEO=∠CDE， ∵OB=OE， ∴∠DBE=∠CDE， ∵∠BED=∠BED， ∴△BDE∽△DCE， ∴， ∴BD•CE=CD•DE． 【总结】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． 4. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90(，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图． （1）若BD是AC的中线，求 的值； （2）若BD是∠ABC的角平分线，求 的值； （3）结合（1）、（2），试推断 的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由． 【解析】 解： 设AB = AC = 1，CD = x，则0＜x＜1，BC = ，AD = 1－x． 在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1－x）2 = x2－2x + 2． 由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD， ∴ ， 即 ，从而 ， ∴ ，0＜x＜1， （1）若BD是AC的中线，则CD = AD = x = ，得 ． （2）若BD是∠ABC的角平分线，则 ，得 ，解得 ， ∴ ． （3） . 若 ，则有 3x2－10x + 6 = 0，解得 ∈（0，1）， ∴ ，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小， 的值则随着D从A向C移动而逐渐增大． 【总结】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题． 5. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形． （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变． 设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式． 【解析】 （1）∵是等边三角形 ∴ ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴梯形是等腰梯形． （2）在等边中， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴. 【总结】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题. 【教材知识必背】 要点一、相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 【微点拨】（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【微点拨】（1）若a:b=