专题16 相似三角形的性质及应用-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题16相似三角形的性质及应用 1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 【解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ 　　 ∵AB⊥BC，CD⊥BC, 　　　　∴∠ABO=∠DCO=90°. 　　　　又 ∵ ∠AOB=∠DOC, 　　　　∴△AOB∽△DOC. 　　　　∴. 　　　　∵BO=50m，CO=10m，CD=17m, 　　　　∴AB=85m. 　　 即河宽为85m． 【总结】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度． 　　 【点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的. 【解析】(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°. ∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE . (2)由(1)得△ABC∽△ADE, ∴. ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m， ∴. ∴DE=16m, 即古塔的高度为16m. 【总结】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定. 3. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 【点拨】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案． 【答案】B． 【解析】 解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25， ∴=， ∵DE∥AC， ∴==， ∴=， ∴S△BDE与S△CDE的比是1：4， 故选：B． 【总结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 　　　　　　　　 【点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例. 【解析】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC， ∴ AD⊥EH，MD=EF. ∵ 矩形两邻边之比为1：2， 设EF=xcm，则EH=2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比，得， ∴ ， ∴ ， ∴. ∴ EF=6cm，EH=12cm.. ∴. 【总结】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高. 5. 如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD． 【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示： 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH为矩形， ∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米， ∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH， ∴=， ∴=， 解得：CH=3.78米， ∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米． 答：故树高DC为5.2米． 【总结】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形． 【教材知识必背】 要点一、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻