专题15 相似三角形判定定理的证明-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题15相似三角形判定定理的证明 1、如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证： ①△ABD∽△CAD； ②AB：AC=DF：AF． 【点拨】（1）由Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由∠ADB=∠ADC，即可证得△ABD∽△CAD； （2）由△ABD∽△CAD，即可得，易证得△AFD∽△DFB，可得，继而证得结论． 【解析】 证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠BAD=∠ACD， ∵∠ADB=∠ADC， ∴△ABD∽△CAD； （2）∵△ABD∽△CAD， ∴， ∵E是AC中点，∠ADC=90°， ∴ED=EC， ∴∠ACD=∠EDC， ∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD， ∴∠BAD=∠BDF， ∵∠AFD=∠DFB， ∴△AFD∽△DFB， ∴， ∴, ∴AB：AC=DF：AF． 【总结】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，难度适中． 2、如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE=BD+EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明． 【点拨】因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE=BD+EC，所以有△MON≌△EOD． 【答案】 解：△MON≌△EOD． 证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点， ∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2． ∵∠A=∠A， ∴△AMN∽△ABC． ∴∠AMN=∠ABC，MN=BC． ∴MN∥BC． ∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE． ∵DE=BD+EC， ∴DE=BC． ∴MN=DE． ∴△MON≌△DOE． 【总结】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 3、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长是多少？ 【解析】解：∵D为AB的中点， ∴BD=AB=， ∵∠DBE=∠ABC， ∴当∠DEB=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2； 当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F， ∵∠DAF=∠CAB， ∴△ADF∽△ACB， ∴△BDE∽△BCA， ∴=，即=，解得DE=， 综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或． 【总结】本题考查了相似三角形判定和性质，其次要注意分类讨论思想的运用． 4、如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE． 【解析】解：设BE=x， ∵EF=32，GE=8， ∴FG=32﹣8=24， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴=， ∴则==+1① ∵DG∥AB， ∴△DFG∽△CBG， ∴= 代入① =+1， 解得：x=±16（负数舍去）， 故BE=16． 【总结】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG是解题关键． 【教材知识必背】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C, 过点D作AC的平行线，交BC与点F,则 ∴ ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴ . 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 【微点拨】证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法. 要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则 ∠B=∠ADE,∠