专题14 探索三角形相似的条件-2021-2022学年九年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版）

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练 专题14探索三角形相似的条件 1. 下列能够相似的一组三角形为( ). 　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形 　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 【答案】C 【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等； C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等. 答案选C. 【总结】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等. 2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F． （1）证明：△ABD∽△DCF； （2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形． 【点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可； （2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可． 【解析】 （1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形， ∴∠B=∠C=∠3=60°， ∴∠1+∠2=∠DFC+∠2， ∴∠1=∠DFC， ∴△ABD∽△DCF； （2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC， ∴△AEF∽△DCF， ∴△ABD∽△AEF， 故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF． 【总结】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键． 3、如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由． 【点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP =（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案． 【解析】 解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似， 则AP=xcm，BQ=2xcm， ∵AB=8cm，BC=16cm， ∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm， ∵∠B是公共角， ∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC， 解得：x=4； ②当=，即=时，△QBP∽△ABC， 解得：x=1.6， ∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似． 【总结】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF． 【点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF． 【解析】 证明：∵AC= ，BC= ，AB=4，DF= ，EF= ，ED=8， ∴ ， ∴△ABC∽△DEF． 【总结】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有： （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑. 5. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？ 【点拨】（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明＝即可． 【解析】矩形ABFE是黄金矩形． 理由如下：因为＝ ＝ 所以矩形ABFE也是黄金矩形． 【总结】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）. A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 【答案】C. 【解析】利用=0.618，列方程求解。 设她应穿的高跟鞋的高度为y,则解得y≈8. 【总结】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践. 【教材知识必背】 要点一、相似三角形的概