专题5.2 函数的基本性质-《讲亮点》2021-2022学年高一数学新教材同步配套讲练（沪教版2020必修第一册）

专题5.2 函数的基本性质 板块一：知识点剖析 知识点一　函数奇偶性的几何特征 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 知识点二　函数奇偶性的定义 1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 知识点三　奇(偶)函数的定义域特征 奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 知识点四 增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 思考　(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 答案　(1)不是；(2)不能． 知识点五　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点六　函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 思考　函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 答案　f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1. 知识点七　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 模块二：强化提高训练 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数的奇偶性的定义判断函数奇偶性，由此排除部分错误选项，再通过取特殊点，排除其它错误选项. 【详解】 又是上的偶函数，是上的奇函数， ∴ ，， ∴ ∴ 函数为奇函数，其图象关于原点对称，A,B错， 由图可得当时，，， ∴ ，D错， 故选：C. 2．函数在上为奇函数，当时，，则当，（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据得到，然后计算出的结果，结合函数的奇偶性可求解出时的解析式. 【详解】 因为，所以，所以， 又因为为奇函数，所以， 所以， 故选：A. 3．下列函数中，是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用偶函数的定义逐项判断即可. 【详解】 A．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合； B．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合； C．定义域为，关于原点对称，，为偶函数，符合； D．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合； 故选：C. 4．已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据奇函数的定义判断． 【详解】 因为，所以 ，则，是奇函数， 同理也是奇函数， ，则，是奇函数， ，为偶函数， 故选：D． 5．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据已知条件可得出关于、的方程组，由此可解得的值. 【详解】 由已知可得，， 因为为偶函数，为奇函数，所以，， 联立，解得. 故选：C. 6．已知，，，则，，