2.5.1 椭圆的标准方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养． 2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养． “嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像．“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程． 1．椭圆的定义 (1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆． (2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 2．椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＝1＋ (a＞b＞0) ＝1＋ (a＞b＞0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？ [提示]　a，b的值及焦点所在的位置． 思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？ [提示]　把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (　　) (2)椭圆＝1的焦点坐标是(±3,0)． (　　) ＋ (3)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆． (　　) ＋ [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)×　需2a＞|F1F2|． (2)×　(0，±3)． (3)×　a＞b＞0时表示焦点在y轴上的椭圆． 2．以下方程表示椭圆的是(　　) A．x2＋y2＝1　　　　　　B．2x2＋3y2＝6 C．x2－y2＝1 D．2x2－3y2＝6 B　[只有B符合椭圆的标准方程的形式．] 3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是(　　) A．＝1 ＋ B．＝1 ＋ C．＝1 ＋＝1或＋ D．＝1 ＋＝1或＋ C　[若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＝1．]＋＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＋ 4．椭圆＝1的左、右焦点F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝ ． ＋ 2　[由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝6，所以|PF2|＝6－|PF1|＝6－4＝2．] 求椭圆的标准方程 【例1】　根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26． (2)经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上． (3)过(－3,2)且与＝1有相同的焦点． ＋ [解]　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为：＝1(a＞b＞0)．＋ ∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5． ∴b2＝a2－c2＝144． ∴所求椭圆方程为：＝1．＋ (2)设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，＋ ∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1， 又椭圆经过点P＝1，＋，∴ 解之得b2＝3，∴a2＝4． ∴椭圆的标准方程为＝1．＋ (3)由方程．，0)，即c＝＝1可知，其焦点的坐标为(±＋ 设所求椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为＋ 解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10， 故方程为＝1． ＋ 利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)． 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；