2.3.3 直线与圆的位置关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

2.3.3　直线与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点) 3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点) 1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养． 2．通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养． 早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程．你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系．你发现了吗？ 直线与圆的位置关系的判定 (直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0) 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 判定方法 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图形 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切． (　　) (2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． (　　) [答案]　(1)√　(2)√ 2．(教材P110练习A①改编)直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法判断 B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，又圆x2＋y2＝1的半径为1，∴d＝r，故直线与圆相切．] 3．直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是 ． 0＜a＜－1．]－1，又a＞0，∴0＜a＜－1＜a＜＞a，解得－－1　[由题意得圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0的距离大于半径a，即 4．直线＝0，截圆x2＋y2＝4所得的弦长是 ． x＋y－2 2　[圆心到直线＝2．]＝2．所以弦长l＝2＝＝0的距离d＝x＋y－2 直线与圆位置关系的判定 【例1】　已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ [思路探究]　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断． [解]　法一：由得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③ 方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)． (1)当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点． (2)当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点． (3)当b＜－2或b＞2时，Δ＜0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点． 法二：圆的半径r＝．，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝ 当d＜r，即－2＜b＜2时，圆与直线相交，有两个公共点． 当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点． 当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离，圆与直线无交点． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 1．已知圆的方程x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？ [解]　法一：由得2x2－2(1＋b)x＋b2＋2b－1＝0，① 其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2＋2b－1)＝－4(b＋3)(b－1)， 当－3＜b＜1时，Δ＞0，方程①有两个不等实根，直线与圆有两个公共点； 当b＝－3或1时，Δ＝0，方程①有两个相等实根，直线与圆有一个公共点； 当b＜－3或b＞1时，Δ＜0，方程①无实数根，直线与圆无公共点． 法二：圆心(0,1)到直线y＝x－b距离d＝．，圆半径r＝ 当d＜r，即－3＜b＜1时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d＝r，即b＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点； 当d＞r，即b＜－3或b＞1时，直线与圆相离，无公共点． 直线与圆相切的有关问题 【例2】　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程． [思路探究]　利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点A在圆外． (1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3