1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

1.2　空间向量基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解．(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点) 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养. 2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. (1)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得(x＋y＋z＝1)．＋z＋y＝x，或对于空间任意一定点O，有＋y＝x 今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理． 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋y b＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？ [提示]　(1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 2．正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{}不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面． (　　) ，， (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量． (　　) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． (　　) [提示]　(1)√　(2)√　(3)× 2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　) A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c [答案]　D 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， C　[由题意知，不共面，可以作为空间向量的一个基底．] ，， 4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 1　－1　[由m与n共线，得，＝＝ ∴x＝1，y＝－1.] 基底的判断 【例1】　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个 (2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且}能否作为空间的一个基底． ，，＝e1＋e2－e3，试判断{＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋2e2－e3， (1)C　[如图所示，令a＝，，c＝，b＝ 则x＝，，z＝，y＝ a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.] (2)[解]　假设成立，＋y＝x共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使，， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3 ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面． ∴此方程组无解． 即不存在实数x，y使得，＋y＝x 所以不共面．，， 所以{}能作为空间的一个基底．，， 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． [跟进训练] 1．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b，构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a或b C　[由题意和空间向量的共面定理， 结合p＋q＝(a＋b)＋(a－b)＝2a， 得