1.1.2 空间向量的数量积运算-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

1.1.2　空间向量的数量积运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3.掌握投影向量的概念．(重点) 4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点) 1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养. 2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养. 3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养. 已知两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．＝a， 如果a与b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把a·b＝|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积) 类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？ 1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． ＝a， (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b. 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ [提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉. ，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉 (2)向量a在平面β上的投影向量 向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，，则向量 [提醒]　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a·b＝a·c⇒b＝c，a·b＝k⇒b＝，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等． (　　) (2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)． (　　) (3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． (　　) (4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2． (　　) [提示]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材P8练习T1改编)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A．　　　　D．　　　　C．　　　　B． B　[令底面边长为1，则高也为1，，＝1×1×cos 120°＋12＝·＋·)＝＋)·(＋＝(·，∴＋＝B，＋＝ 又|.|＝|＝| ∴cos〈AB1，BC1〉＝.故选B.]＝ 3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1. 所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3－2＝1.] 4．设a⊥b，〈a，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________． ，〈b，c〉＝ 　[因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2 ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c) ＝1＋4＋9＋2，＝17＋6 所以|a＋b＋c|＝.] 空间向量数量积的运算 【例1】　(1)如图，三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BA