1.1.1 空间向量及其线性运算-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解空间向量的概念．(难点) 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养. 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图1　　　　　　图2 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：|. ，其模记为|a|或| 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝a＋b＋＝ 减法 ＝a－b－＝ 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示]　没有关系． 4.共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 5．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使. ＋y＋x＝或对空间任意一点O，有＋y＝x 思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ (2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足，则点P与点A，B，C是否共面？＋＋＝ [提示]　(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量． (2)由)－()＋－(＝－得＋＋＝ 即，因此点P与点A，B，C共面．＋＝ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　) (2)相等向量一定是共线向量． (　　) (3)三个空间向量一定是共面向量． (　　) (4)零向量没有方向． (　　) [提示]　(1)×　若b＝0时，a与c不一定平行． (2)√　相等向量一定共线，但共线不一定相等． (3)×　空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的． (4)×　零向量有方向，它的方向是任意的． 2．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有(　　) A．1个　B．2个 C．3个 D．4个 D　[共四条AB，A1B1，CD，C1D1.] 3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，，则λ＝________. ＝λ －.]方向相反，又因|AB|＝5，|BC|＝3，故λ＝－与　[因为C在线段AB上，所以 4．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为________． －－＋ 0　[延长DE交边BC于点F，连接AF，则有＝0.] －－＋，故＝＋＝＋，＝＋ 空间向量的有关概念 【