第1章 章末综合提升-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] (教师独具) 空间向量的线性运算和数量积 【例1】　(1)如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且.求证：四边形EFGH是梯形．＝，＝ (2)已知正四面体OABC的棱长为1，如图．求： ①； · ②()； ＋)·(＋ ③||. ＋＋ [思路探究]　(1)利用向量共线定理证明． (2)利用数量积的定义及运算法则进行． [解]　(1)证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴.＝，＝ 则.)＝－(＝－＝－＝ ∵，)＝－(＝－＝－＝ ∴|.|≠|||＝且|∥ 又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形． (2)在正四面体OABC中，||＝1.|＝||＝| 〈〉＝60°.，〉＝〈，〉＝〈， ①.|·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝||＝|· ②()＋)·(＋ ＝()－＋－)·(＋ ＝()－2＋)·(＋ ＝·2－2O＋·－2·＋2 ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. ③|.＝＝|＝＋＋ 1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cos θ等． [跟进训练] 1.如图，已知ABCD­A′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的，则α＋β＋γ＝________.＋γ＋β＝α分点，设 　[连接BD，则M为BD的中点， )＋＋(＝＋＝＋＝ )＋()＋＋(－)＝＋( ＝.＋＋ ∴α＝.，γ＝，β＝ ∴α＋β＋γ＝.] 空间向量基本定理 【例2】　(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为(　　) A．0　　　B．　　　C．9　　　D． (2)如图，已知空间四边形OABC，对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量. 表示向量，， (1)D　[∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底， ∴a与b不平行，且a，b，c三个向量共面， ∴存在实数X，Y，使得c＝Xa＋Yb， 即.]解得λ＝ (2)[解]　＋＝＋＝ ＝)－(＋ ＝＋ ＝)－＋(＋ ＝.＋＋ 基底的判断方法 判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． [跟进训练] 2.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝c. ＝b，＝a， (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． [解]　(1)c.b＋a＋(b－a)＝(c－a)＋a＋＝＋＋＝＋＋＝ (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＝5，＋2×1×1× ∴|a＋b＋c|＝.，即MN＝|a＋b＋c|＝|＝，∴| 空间向量的坐标表示 【例3】　(1)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________． (2)已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． ①当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； ②当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． [思路探究]　(1)利用|a|＝构建函数关系，再利用二次函数求最小值； (2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解． (1)　[由已知，得 b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)． ∴|b－a|＝ ＝.＝ ∴当t＝.]时，|b－a|的最小值为 (2)[解]　①∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， ∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(