2.5.2 圆与圆的位置关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.5.2　圆与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解圆与圆的位置关系的种类．(重点、易错点) 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系. (重点、难点) 通过圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养. 如图为在某地12月24日拍到的日环食全过程． 可以用两个圆来表示变化过程． 根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？ 1．圆与圆的位置关系 两圆相交 有两个公共点 两圆相切 外切和内切 只有一个公共点 两圆相离 外离和内含 没有公共点 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 思考：将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？ [提示]　两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． (　　) (2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离． (　　) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． (　　) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2. (　　) [提示]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　) A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切 B　[圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝<r1＋r2＝3，即两圆相交．] 3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的公切线条数是________． 3　[C1(1,2)，r1＝2；C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5， 因此两圆外切．所以公切线有3条．] 4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________． x＋3y－5＝0　[由两圆方程消去二次项得10－2x＋1－6y＋9＝10， 即x＋3y－5＝0.] 圆与圆的位置关系的判断 【例1】　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ [解]　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|，－1|＜5＜1＋＝6，即k＝14时，两圆内切．当|－1|＝5，即 即14＜k＜34时，两圆相交． 当＋1|<5， 即34＜k＜50时，两圆外离． 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． [跟进训练] 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． [解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含. 两圆相切问题