2.4.2 圆的一般方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.4.2　圆的一般方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养. 2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养. (1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？ (2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？ 这就是今天我们将要研究的问题． 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为. ，圆的半径为r＝ (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0. 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． (　　) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系． (　　) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化． (　　) (4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件． (　　) [提示]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　 B． C．(1，＋∞)∪ D．R A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0， 即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A.] 3．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则它的圆心坐标为________． .]，所以圆心为2＋(y＋1)2＝　[圆的方程整理为x2＋y2＋x＋2y－10＝0，配方得 4．过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为________． x2＋y2－4x－6y＝0　[三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2,3)，半径r＝.＝ ∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0.] 圆的一般方程的认识 【例1】　(1)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________． (2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长． ①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0. (1)(－∞，1)　[把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1.] (2)[解]　①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2. ②方程可变形为2，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．＋2(y＋1)2＝－ ③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. 当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆； 当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆． 判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题． ＝＋ [跟进训练] 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0. [解]　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同， ∴它不能表示圆． (2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项， ∴它不能表示圆． (3)∵方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)∵方程2x2＋2y2－5x＝0化为，＋y2＝ ∴它表示以为半径长的圆.为圆心， 求圆的一般方程 【例2】　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上， ∴ ∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝＝－3，，kAC＝＝ ∴kAB·kAC＝－1