2.4.1 圆的标准方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养. “南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米． 请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？ 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 思考：平面内确定圆的要素是什么？ [提示]　圆心坐标和半径． 2．点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆． (　　) (2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m. (　　) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)． (　　) [提示]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　) A．(－2,3)，1　　　 B．(2，－3)，3 C．(－2,3)， D．(2，－3)， D　[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.] 3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 4．已知点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的内部，则实数m的取值范围是________． m＞10　[由条件知(1＋2)2＋(－1)2＜m，解得m＞10.] 点与圆的位置关系 【例1】　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ [思路探究]　先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程；求出A，B，C各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系． [解]　解方程组得 ∴圆心M的坐标为(0,1)， 半径r＝|MP|＝.＝5 ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝＜r，＝ ∴点A在圆内． ∵|BM|＝＝r，＝ ∴点B在圆上． ∵|CM|＝＞r，＝ ∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外． 1.判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可； (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． [跟进训练] 1．已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． [解]　因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r＝＝5， 所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因为|P1C|＝<5，＝2＝ 所以P1(－1,0)在圆内； 因为|P2C|＝＝5， 所以P2(1，－1)在圆上； 因为|P3C|＝＝6>5， 所以P3(3，－4)在圆外. 求圆的标准方程 【例2】　求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． [思路探究]　法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐