2.4.1 圆的标准方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 素养目标 新知索骥 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算) 3．掌握点与圆的位置关系．(数学运算、逻辑推理) 知识点一　圆的标准方程 1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．确定圆的要素是圆心坐标和半径，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示圆心在坐标原点，半径为r的圆． 【微训练】 1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径是(D) A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(－1,2)，2 2．圆心是(－3,4)，半径长为5的圆的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5 B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25 D　解析：将O(－3,4)，r＝5代入圆的标准方程即可． 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r．设所给点为M(x0，y0)，如下表： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 |MA|＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 |MA|＜r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 |MA|＞r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 【微训练】 1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为(　　) A．P是圆心 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P在圆外 C　解析：因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P在圆内． 2．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________． ±2　解析：因为P点在圆x2＋y2＝m2上，所以(－1)2＋()2＝4＝m2．所以m＝±2． 圆的有关概念 1．圆(x＋2)2＋(y－3)2＝5的圆心和半径分别是(　　) A．(－2,3)， B．(2，－3)， C．(－2,3)，5 D．(2，－3)，5 A　解析：由圆的标准方程(x＋2)2＋(y－3)2＝5，知圆心为(－2,3)，半径为．故选A． 2．圆心为(－2,3)，半径是3的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝3 C　解析：圆心为(－2,3)，半径是3的圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9．故选C． 3．方程x＝表示的图形是(　　) A．两个半圆 B．两个圆 C．圆 D．半圆 D　解析：根据题意，x≥0，再两边同时平方得x2＋y2＝1．由此确定图形为半圆．故选D． 求圆的标准方程 【例1】求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为(3,4)且经过坐标原点； (2)圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切； (3)以A(2,0)，B(2，－2)为直径； (4)经过A(3,1)，B(－1,3)，且圆心在直线3x－y－2＝0上． 解：(1)因为圆心(3,4)，设半径为r， 又圆过坐标原点，所以r＝＝5, 所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25． (2)设圆的半径为r， 因为圆与x＋y＝4相切，所以r＝．＝ 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2． (3)设圆心(a，b)，半径为r，由题意得 r＝＝1， 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1． (4)(方法一)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 依题意得 即 解得 故所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10． (方法二)直线AB的斜率k＝，＝－ 可知AB的垂直平分线m的斜率为2，A，B中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝2． ＝1，y＝ 因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0． 又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上． 联立方程组 解得 设圆心为C，所以圆心坐标为(2,4)． 又半径r＝|CA|＝， 则所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10． (方法三)设圆心为C，因为圆心在直线3x－y－2＝0上，故可设圆心C的坐标为(a,3a－2)． 又因为|CA|＝|CB|， 故， ＝ 解得a＝2，所以圆心为(2,4