2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点) 2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点) 3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养. 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离呢？ 点到直线和两条平行线间的距离 名称 点到直线的距离 两平行线间的距离 概念 过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离 夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离 条件 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 公式 d＝ d＝ 思考：(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ (2)在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　(1)要求直线的方程应化为一般式． (2)两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当A＝0或B＝0或点P在直线l上时，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式仍然适用． (　　) (2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． (　　) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数对应成比例即可． (　　) (4)点P(x0，y0)到x轴的距离是d＝y0. (　　) [提示]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．点P(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A． B． C． D．2 A　[d＝.]＝ 3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3 B．2 C．1 D． C　[d＝＝1.] 4．若第二象限内的点P(m,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________． －4　[由，得m＝－4或m＝0，＝ 又∵m<0，∴m＝－4.] 点到直线的距离 【例1】　(1)已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________． (2)求点P(3，－2)到下列直线的距离： ①y＝；②y＝6；③x＝4. x＋ (1)－1　[由点到直线的距离公式得 －1，＝1，解得a＝± ∵a＞0，∴a＝－1.] (2)[解]　①把方程y＝.＝写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝x＋ ②法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8. 法二：因为直线y＝6平行于x轴， 所以d＝|6－(－2)|＝8. ③因为直线x＝4平行于y轴， 所以d＝|4－3|＝1. 点到直线距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． [跟进训练] 1．求点P0(―1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0. [解]　(1)根据点到直线的距离公式得d＝.＝2＝ (2)直线方程可化为x＋y―2＝0，所以d＝.＝ (3)因为直线y―1＝0平行于x轴，所以d＝|2―1|＝1. 两条平行线间的距离 【例2】　(1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B． C． D． (2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． [思路探究]　(1)先由l1∥l2，求出m的值，再求距离．有以下几种思路：①直接利用两平行直线间的距离公式求解；②在l1上取一点M，求点M到l2的距离；③求原点到l1与l2的距离，再利用图形，确定求和(或差)，即得所求． (2)分斜率存在和不存在两种情况讨论． (1)D　[∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2. ∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0. 法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝.＝ 法二：在l1上取一点M(0,3)，则点M到l2的距离 d＝即为所求．＝ 法三：设原点O到直线l1、l2的距离分别为|OE|、|OF|，画出图形(图略)易得l1，l2之间的距离d＝|OE|＋|OF|＝.]＝＋ (2)[解