2.2.3 直线的一般式方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.2.3　直线的一般式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线的一般式方程．(重点) 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点) 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点) 通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是Ax＋By＋C＝0，前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，斜截式：y＝kx＋b，两点式＝1.它们都可以化成为二元一次方程的这种形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)叫做直线的一般式，下面进入今天的学习．＋和截距式：＝ 直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝b(y轴上的截距)； ＝k(斜率)，－ ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ [提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线． (　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式． (　　) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线． (　　) [提示]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A． A≠0 B． B≠0 C． A·B≠0 D． A2＋B2≠0 D　[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 故选D. ] 3．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为(　　) A．－1,2 B．－2,2 C．2，－2 D．－2，－2 A　[y＝0时，x＝－＝2，解得a＝－1.]＝－＝－1，解得b＝2，当x＝0时，y＝－ 4．直线3x－y＋1＝0的倾斜角为________． 60°　[把3x－，x＋y＋1＝0化成斜截式得y＝ ∴k＝，倾斜角为60°.] 5．直线＝1的一般式方程是________． － 3x－2y－6＝0　[由＝1得3x－2y－6＝0.]－ 直线的一般式方程与其他形式的互化 【例1】　(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． (2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． ①斜率是－，经过点A(8，－2)； ②经过点B(4,2)，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，－3； ④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． [解]　(1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2. 截距式方程为：＝1.＋ 由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3,2. (2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. ②由斜截式得y＝2，即y－2＝0. ③由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.＋ ④由两点式得，即x＋y－1＝0.＝ 1．求直线一般式方程的方法 2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件． [跟进训练] 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝＝0.x－y＋3－5(x－5)，化为一般式方程为 (2)由两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为2x＋y－3＝0.＝ (3)由截距式方程可得，所求直线方程＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.＋ 直线的平行与垂直 【例2】　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直． [思路探究]　利用两直线平行与垂直的条件，但要注意斜率的存在与否． [解]　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，