2.2.1 直线的点斜式方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.2　直线的方程 2.2.1　直线点斜式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2.掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养. 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线． 已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？ 1．直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示． 2．直线在y轴上的截距 定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b. 符号：可正，可负，也可为零． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线． (　　) (2)＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程． (　　) (3)直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标． (　　) [提示]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　) A．2　　　B．－1　　　C．3　　　D．－3 C　[由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.] 3．直线＝1在y轴上的截距是(　　) － A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b B　[令x＝0，则y＝－b2.] 4．过点(2,1)且与直线y＝3x＋1平行的直线的点斜式方程为________． y－1＝3(x－2)　[y＝3x＋1的斜率为3，∴所求直线的斜率为3，即所求直线方程的点斜式方程为y－1＝3(x－2)．] 直线的点斜式方程 【例1】　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________． (1)y－5＝x－2　(2)x＝－5　[(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.] 求直线的点斜式方程的步骤 提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. [跟进训练] 1．分别求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． [解]　(1)由点斜式方程得 y－4＝2(x－3)． (2)与x轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4. (3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3. 直线的斜截式方程 【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解]　(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－x－2.，由斜截式可得直线方程为y＝－ (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝x－3.x＋3或y＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝ 求直线的斜截式方程 (1)先求参数k和b，再写出斜截式方程． (2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率． (3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离． [跟进训练] 2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． [解]　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b. 由已知可得·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线方程为y＝x－1.x＋1或y＝ 斜截式在两直线平行与垂直中的应用 [探究问题] 1．已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，应满足什么条件？若l1⊥l2，应满足什么条件？ [提示]　k1＝k2且b1≠b2；k1·k2＝－1. 2．一次函数的解析式与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不