2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件． 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直． 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题. 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养. 魔术师的地毯 有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？ (1)　　　　　　　　(2) 为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直． 1．两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． 2．两条直线垂直与斜率之间的关系 图示 对应关系 l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等． (　　) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行． (　　) (3)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直． (　　) (4)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1． (　　) [提示]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　) A．－3　　　B．3　　　C．－　　　D． B　[kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.] 3．若直线l1，l2的方向向量分别为(1，－3)和(1，k)，且l1⊥l2，则k＝________. 　[由于l1⊥l2，则(1，－3)·(1，k)＝0， 即1－3k＝0，∴k＝.] 4．(教材P58T6(1)改编)l1的斜率为－，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________． －.]＝－1，解得m＝－×　[由条件l1⊥l2得－ 两直线平行的判定及应用 【例1】　(1)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． ①l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)； ②l1的斜率为－，l2经过点A(4,2)，B(2,3)； ③l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)； ④l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)． (2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行． [思路探究]　(1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； (2)利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得． [解]　(1)①kAB＝＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行．，kMN＝＝ ②l1的斜率k1＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合．＝－，l2的斜率k2＝ ③由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2. ④由题意，知kEF＝＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合．＝1，kGH＝ 需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝＝1. 所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合． (2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，kAB＝.＝，kCD＝ 由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即.解得m＝－2.＝ 经验证m＝－2时，直线AB的斜率存在，故m的值为－2. 判断两条不重合直线是否平行的步骤 [跟进训练] 1．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标． [解]　设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC. 所以所以顶点D的坐标为(3,4).解得 两直线垂直的判定及应用 【例2】　(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)； ②