2.1.1 倾斜角与斜率-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点) 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养． 2. 通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养. 看下面几个问题 [师]大家知道两点确定一条直线，那么经过一点有多少条直线？ [生]无数条． [师]那么再给出什么条件就可确定一条呢？ [生]倾斜程度．(方向) [师]那么我们今天就将开始学习反应直线倾斜程度的两个量——倾斜角和斜率． 1．倾斜角的相关概念 (1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. (2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 2．斜率的概念及斜率公式 (1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． (2)记法：k＝tan α. (3)斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) (4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝. 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°. 3．直线的方向向量坐标 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)． 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应． (　　) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等． (　　) (4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． (　　) [提示]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　) A．0°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° A　[∵k＝＝0，∴θ ＝0°.] 3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A． C．1 D． B． A　[由题意可知，k＝tan 30°＝.] 4．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是________． ＝1，　[由斜率公式可得 解之得m＝.] 直线的倾斜角 【例1】　求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　(2)　　　　　　　(3) [解]　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°. (2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°. ①　　　　　　②　　　　　　　　③ 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [跟进训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.] 直线的斜率 【例2】　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 (2)(教材P55练习T5改编)经过A(0，y)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则y＝________. (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． [思路探究]　(1)利用公式