1.4.1 第1课时 空间向量与平行关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间向量与平行关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解空间中点、直线和平面的向量表示． 2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点) 3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点) 1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养． 2．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养． 3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. (1)如何确定一个点在空间的位置？ (2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？ (3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ (4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ 1．空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量称为点P的位置向量.表示，我们把向量 空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取.这两个式子称为空间直线的向量表示式.＋t＝＋ta，也可以表示为＝＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得，这就是空间平面ABC的向量表示式.＋y＋x＝＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 2.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？ [提示]　不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． 3．空间中平行关系的向量表示 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的方向向量a一定是单位向量． (　　) (2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α. (　　) (3)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β. (　　) (4)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为. (　　) ＝t [提示]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2则(　　) A．x＝，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝，y＝ D　[由l1∥l2，得a∥b， 即.＝＝ 解得x＝，故选D.]，y＝ 3．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________． l⊂α或l∥α　[∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.] 4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________. 4　[由α∥β得，解得k＝4.]＝＝ 求平面的法向量 【例1】　四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1. 在如图所示的坐标系A­xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． [解]　A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n· ∴y＝－即为平面SCD的一个法向量．.∴n＝＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝.又n