1.3.2 空间运算的坐标表示-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

1.3.2　空间运算的坐标表示 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养． 2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. 平面向量的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)． a·b＝a1b1＋a2b2. (2)a∥b(b≠0)⇔a＝λb，即a1＝λb1，a2＝λb2. a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0. (3)|a|＝＝(x2－x1，y2－y1)． ， cos〈a，b〉＝. 思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？ 1．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有成立吗？＝＝ [提示]　当b1，b2，b3均不为0时，成立．＝＝ 3．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝|. |＝ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则. (　　) ＝＝ (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量的坐标相同． (　　) 与 (3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. (　　) [提示]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) D　[4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)， ∴4a＋2b＝(8,0,4)．] 3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A．1 B． D． C． D　[由a，b的坐标可得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，两向量互相垂直则a·b＝0，即3×(k－1)＋2×k－2×2＝0，解得k＝.] 4．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则|＝________. ＝__________，| (1，－1，－1)　.] ＝|＝＝(1，－1，－1)，|　[ 空间向量的坐标运算 【例1】　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________. (2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． (1)2　[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.] (2)[解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注