1.3.1 空间直角坐标系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解空间直角坐标系的建立过程． 2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点) 3．掌握空间向量的坐标表示(重点、难点) 1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养． 2．通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养. (1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？ 数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示； (2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？ 直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示． (3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？ 1．空间直角坐标系 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 坐标轴 x轴、y轴、z轴 坐标原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系 2.空间向量的坐标表示 空间直角坐标系中A点坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使，且点A的位置由向量 在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0. (　　) (3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反． (　　) [提示]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知i，j，k是空间直角坐标系O­xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　) A．(－1,1，－1)　　　 B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 D　[向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．] 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若以{的坐标是________． ＝________，}为基底，则，， ＋＋＝＋＋＝＋＝}为基底，∵，，　 (1,1,1)　[若以{＋＋ ∴的坐标为(1,1,1)．] 求空间点的坐标 【例1】　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． [思路探究]　将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解]　(1)显然D(0,0,0)， 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)． 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)． (2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)， 则C1C的中点N为， 即N. 坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x轴上 (x,0,0) xOy平面上 (x，y,0) y轴上 (0，y,0) yOz平面上 (0，y，z) z轴上 (0,0，z) xOz平面上 (x,0，z) 坐标原点 (0,0,0) [跟进训练] 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分别为________． [答案]　E，F 求对称点的坐标 【例2】　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． [思路探究]　求