第二章 一元二次函数、方程和不等式（章末复习）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（章末复习） 1. 知识系统整合 2. 规律方法收藏 1．比较数(式)的大小 依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式． 3．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即：①x，y都是正数． ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)． ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 4．解一元二次不等式的步骤 当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图； (3)由图象写出不等式的解集． 特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况． (2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解． 5．一元二次不等式的实际应用 不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是： (1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式． (5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案． 3 学科思想培优 一、常数代换法 【典例1】（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）若实数，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 二、消元法 【典例2】（考点07基本不等式-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用））设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 三、配凑法 1．从和或积为定值的角度入手配凑 某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧． 【典例3】设x>0，y>0，x2＋＝1，求的最大值． 【典例4】已知x，y，z为正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最小值． 【典例5】设a1，a2，a3，…，an均为正实数，求证：≥a1＋a2＋a3＋…＋an. 2．从取等号的条件入手配凑 在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． 【典例6】设a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，求的最大值． 四、判别式法在“三个二次”问题中的应用 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性． 1．求变量的取值范围 【典例7】（2021·全国）若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________ 2．求最值 【典例8】已知正实数a，b满足a＋2b＋ab＝30，试求实数a，b为何值时，ab取得最大值． 3．证明不等式 【典例9】已知x，y∈R，证明：2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立． 五、含变量的不等式恒成立问题 【典例10】（2022·全国高三专题练习）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（章末复习） 1. 知识系统整合 2. 规律方法收藏 1．比较数(式)的大小 依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 适用范围：若数(式)的大