6.4.1 平面几何中的向量方法-【赢在微点】2020-2021学年新教材高中数学人教A版（2019）必修第二册·轻松课堂

匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 第六章 平面向量及其应用 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 6．4　平面向量的应用 　6.4.1　平面几何中的向量方法 自主预习案 明新知 合作探究案 攻重难 当堂检测案 提素养 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 　 用向量方法解决几何问题 通常是先用向量表示问题 中涉及的几何元素 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 向量理论的发展有着深刻的几何背景。这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念。莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的。鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多点和线。这就是向量。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 【问题】　向量法解决平面几何问题的两种方法是什么？ 提示：(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算。 (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算。 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 会用向量方法计算或证明几何中的相关问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用。 通过训练，体会几何中向量方法的解题思路是“形到向量→向量的运算→向量和数到形”。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 自主预习案 明新知 稳健启程　　新知初步构建 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 1．平面几何与平面向量转化的逻辑推理 利用向量解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解。 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 3．平面向量及三角形的“四心” 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|. (2)O为△ABC的重心⇔eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝0。 (3)O为△ABC的垂心(三角形三边高的交点)⇔eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))·eq \o(OA,\s\up16(→))。 (4)O为△ABC的内心⇔aeq \o(OA,\s\up16(→))＋beq \o(OB,\s\up16(→))＋ceq \o(OC,\s\up16(→))＝0。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 微思考　 用向量的方法解决平面几何中的哪些常见问题，你知道吗？ 提示：用向量方法解决平面几何问题的类型很多，一般有长度、角度、垂直、平行等问题。 匠心微点 只为改变 第*页 返回导航 轻松课堂 高中数学 必修 第二册 A版 初试身手 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC为直角三角形，则有eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0。(