专题强化训练三 向量与立几25道必刷解答题-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 专题强化训练三：向量与立几25道必刷解答题 1．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ，侧面 为等边三角形． （1）求证： ； （2）若 的大小为 ，求 的正弦值． 2．如图，已知四棱锥 的底面是菱形， 交 于 ， 平面 ， 为 的中点，点 在 上， ． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求二面角 的余弦值． 3．如图，四边形 是直角梯形， ∥ ， ， ， ， 平面 ， 为 的中点． （1）求证：直线 平面 ； （2）若三棱锥 的体积为 ，求二面角 的正弦值． 4．如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ， ，且点 和 分别为 和 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值； （3）求点 到平面 的距离； （4）设 为棱 上的点，若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长. 5．如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 中， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）设 ，若直线 与平面 所成角大小为30°，求线段 的长. 6．如图1，在等腰 中， ，D，E分别为 ， 的中点，F为 的中点，G在线段 上，且 . ，将 沿 折起，使点A到 的位置（如图2所示），且 . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 平面 所成锐二面角的余弦值. 7．如图，在梯形 中， ， ， ，四边形 为矩形，平面 平面 ， . （1）求证： 平面 ， 平面 ； （2）点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成锐二面角为 ，试求 的最小值. 8．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 是 的中点， 平面 ，且 ， . （1）求 与平面 所成角的正弦； （2）求 点到面PBC的距离. 9．在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 是等边三角形， 为 的中点， 为 的中点， . （1）求证： 平面 . （2）求平面 与平面 所成锐角的余弦值. 10．如图所示，在等腰梯形 中， ， ， ， ， 平面 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）若 为线段 上一点，且 ，是否存在实数 ，使平面 与平面 所成锐二面角为 ？若存在，求出实数 ；若不存在，请说明理由． 11．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ， ， 是 中点. （1）求直线 与平面 的夹角余弦值； （2）求平面 和平面 的夹角的余弦值； （3）求点 到平面 的距离. 12．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60(，DE(AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D(DC，如图2. （1）求证：A1E(平面BCDE； （2）求二面角E—A1B—C的余弦值. 13．如图，四棱锥 中，底面 是梯形， ， ， 是等边三角形， 是棱 的中点， ， . （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 14．如图，在多面体 中四边形 是正方形， 平面 ， 平面 ， ． （1）证明：平面 平面 ． （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 15．如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为 的中点． （1）求证 平面 ； （2）若点 为 的中点，线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，请确定 的位置；若不存在，请说明理由． 16．如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB= ，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB.沿着AC将△ACD折起来，使得平面ACD⊥平面ABC，如图2. （1）求证∶BC⊥AD； （2）求二面角A-DM-E的余弦值. 17．如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 为棱 上一点， 底面 ． （1）证明： ； （2）若 ， ，求二面角 的大小． 18．如图在四棱锥 中，底面 为正方形， 为等边三角形，E为 中点，平面 平面 . （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 19．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 为线段 的中点，过 的平面与线段 ， 分别交于点 ， . （1）求证： ； （2）若 为棱 上靠近 点的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值. 20．如图①，在直角梯形 中， ， ， ， 的 是 的中点， 是 与 的交点．将 沿 折起到 的位置，如图②． （1）证明： 平面 ； （2）若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 21．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 22．如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是 的中点. （1）证明：