【导学案】3.1.2 函数的表示法（第1课时 函数的表示法）-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）

3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 学习目标 教材考点 学习目标 核心素养 函数的三种表示方法 了解函数的三种表示法及各自的优缺点， 会根据不同需要选择恰当方法表示函数 数学抽象 求函数的解析式 掌握求函数解析式的常用方法 数学运算 函数图象的作法及应用 会作函数的图象并从图象上获取有用信息 直观想象 知识梳理 名师导学 知识点1 函数的三种表示方法 【例】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【解】　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 反思感悟　 (1)函数三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． (2)应用函数三种表示方法应注意以下三点 ①解析法必须注明函数的定义域； ②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系； ③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．　 变式训练 1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 　 解析：选D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. 2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表： x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程g(f(x))＝x的解集为________． 解析：当x＝1时，f(1)＝2，g(f(1))＝2，不符合题意； 当x＝2时，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合题意； 当x＝3时，f(3)＝1，g(f(3))＝3，符合题意． 综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}． 答案：{3} 知识点2 求函数解析式 【例】 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)． 【解】　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. 所以解得k＝3，b＝1，或k＝－3，b＝－2. 所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)法一：(配凑法) 因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)， 所以f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：(换元法) 令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， 所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)． 所以f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f＝x，令x＝， 得f＋2f(x)＝. 于是得到关于f(x)与f的方程组 解得f(x)＝－(x≠0)． 反思感悟　 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)． (3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．　 变式训练 1．设函数f＝x，则f(x)的表达式为(　　) A．f(x)＝　　　　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：选C.令t＝，解得x＝， 代入f＝x，可得f(t)＝， 所以f(x)＝. 2．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 解：因为f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，① 所以将x换成－x，得f(－x)＋