专题20 基本不等式-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

专题20 基本不等式 专题导航 目录 常考点01 不等式性质及其应用 1 【典例1】 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 2 常考点02 不等式解法 3 【典例2】 3 【考点总结与提高】 3 【变式演练2】 4 常考点03 含参不等式恒成立问题的求解策略 4 【典例3】 4 【考点总结与提高】 5 【变式演练3】 6 常考点04 基本不等式应用 7 【典例4】 7 【考点总结与提高】 8 【变式演练4】 8 常考点05 线性目标函数的最值问题 9 【典例5】 9 【考点总结与提高】 10 【变式演练5】 10 【冲关突破训练】 11 常考点归纳 常考点01 不等式性质及其应用 【典例1】 1．（2021年天津卷）设，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，，，，，，. 故选：D. 2．（2021年新高考2卷）已知，，，则下列判断正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，即.故选：C. 【考点总结与提高】 比较大小的常用方法： （1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式. （2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法： ①介值比较法的理论根据是：若a>b,b>c,则a>c，其中b是a与c的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小. （5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决. 【变式演练1】 1.已知，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意， ，  因为， 所以， 所以.故选B． 2．(设，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，由得， 所以，所以，得． 又，，所以，所以．故选B． 常考点02 不等式解法 【典例2】 1．（2021年浙江卷） 设集合，则 （ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由交集运算，得，故选D． 2．设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，所以． 因为，所以． 故选：D． 【考点总结与提高】 由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或； （2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：； （3）画图：画出对应二次函数的图象的草图； （4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 【变式演练2】 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴， 故选：C． 2．记全集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，即，所以集合， 由得或，所以集合，所以，所以， 故选：D. 常考点03 含参不等式恒成立问题的求解策略 【典例3】 1．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画出函数的图像如图所示. 在上恒成立即函数的图像恒在直线的图像的下方， 且直线过定点， 当直线与相切时，设切点，， 可得，解得，则直线斜率为，即； 当直线与相切时，此时由， 得，令，得或（舍）， 所以由图像可知 2.已知不等式的解集为，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】所给条件等价于的解集为，即的解集为，由此可得： 解得： 答案： 【考点总结与提高】 解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略： （1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题. （3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即 ①若在定义域内存在最大值，则(或)恒成立(或); ②若在定义域内存在最小值，则(或)恒成立(或); ③若在其定义域内不存在最值，只需找到在定义域内的最大上