第07讲 空间中轨迹，存在性，最值问题-2021-2022学年高二数学课件讲义同步与高考高分突破（沪教版2020）

第7讲 空间中轨迹，存在性，最值问题 一、填空题 1．在棱长为1正方体 中， 为棱 的中点，动点 在侧面 及其边界上运动，总有 ，则动点 的轨迹长度为______. 2．在已知空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点，若 ，且异面直线 与 所成的角为 ，则 与 所成角大小的取值集合为__________. 3．如图，四棱锥 底面边长为2的正方形，侧面都是等边三角形，动点 在表面上运动，并且总保持 ，则动点 从 点出发到再回到 点，其路程为________. 4．如图，长方体 中， ， 为线段 的中点， ， 分别为线段 和棱 上任意一点，则 的最小值为___________. 5．已知四棱柱 的底面为菱形， 底面 ， ， ， ，点 是线段 上靠近 的四等分点，动点 在四棱柱 的表面，且 ，则动点 的轨迹长度为___________. 6．已知 中， ， ， ，如图，点 为斜边 上一个动点，将 沿 翻折，使得平面 平面 .当 ___________时， 取到最小值. 7．在 中，已知 ， ，D是斜边 上任意一点（如图①），沿直线 将 折成直二面角 （如图②）若折叠后A，B两点间的距离为d，则d的最小值为_______． 8．已知三棱锥 中， 为 中点， 平面 ， ， ，则下列说法中正确的序号为______. ①若 为 的外心，则 ； ②若 为等边三角形，则 ； ③当 时， 与平面 所成角的范围为 ； ④当 时， 为平面 内动点，若 平面 ，则 在 内的轨迹长度为2. 9．如图在圆锥 中，A，B是圆O上的动点， 是圆O的直径，M，N是 的两个三等分点， ，记二面角 ， 的平面角分别为 ，若 ，则 的最大值是________． 10．如图，在棱长为 的正方体 中， ， 在线段 上， ， 分别在线段 ， 上，且 ， ， ，动点 在平面 内，若 ， 与平面 的所成角相等，则线段 长的最小值是______． 11．如图，矩形 所在平面与正方形 所在平面互相垂直， ，点 在线段 上.给出下列命题： ①直线 直线 ； ②直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 ； ③存在点 ，使得直线 平面 ； ④存在点 ，使得直线 平面 . 其中所有真命题的序号是______. 12．已知四棱柱 的底面为菱形， 底面 ， ， ， ，点 是线段 上靠近 的四等分点，动点 在四棱柱 的表面，且 ，则动点 的轨迹长度为___________. 13．如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，将△ 沿 翻折到△ 的位置，在翻折过程中， 不在平面 内时，记二面角 的平面角为 ，则当 最大时， 的值为______． 二、单选题 14．如图，在棱长为 的正方体 中， 、 分别是 、 的中点，长为 的线段 的一个端点 在线段 上运动，另一个端点 在底面 上运动，则线段 的中点 的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 15．已知四面体 ， ， ， 平面 ， 于E， 于F，则（ ） A． 可能与 垂直， 的面积有最大值 B． 不可能与 垂直， 的面积有最大值 C． 可能与 垂直， 的面积没有最大值 D． 不可能与 垂直， 的面积没有最大值 16．已知四面体ABCD的所有棱长均为 ，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论： ①线段MN的长度为1； ②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线； ③ 的余弦值的取值范围为 ； ④ 周长的最小值为 ． 其中正确结论的为（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 17．将如图1所示的平面图形翻折成如图2的正方体，其中 ， ， 分别对应 ， ， ．有下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ） ①在图1中， ，翻折后对应的两线段仍然保持平行； ②对于图1中的 与 ，翻折后对应的两直线所成的角为 ； ③ 为 边上的中点，过 ， ， 三点的平面在正方体所得的截面为菱形； ④ 为正方体 的侧面 内任一点，若始终保持 的关系，则点 的运动轨迹为线段 ． 图1 图2 A． B． C． D． 三、解答题 18．如图所示，在直四棱柱 中，底面 为菱形， 是棱 的中点，且 ， ， 分别为 ， 的中点． （1）求证： ； （2）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请找出点 的位置，若不存在，请说明理由． 19．如图所示，三棱台 中， ， 底面 ， . （1）证明： ； （2）若 ， ，问 为何值时，直线 与平面 所成的角为 ？ 20．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ，点 是 的中点. （1）求证： //平面 ； （2）