第05讲 直线与平面的夹角、二面角-2021-2022学年高二数学课件讲义同步与高考高分突破（沪教版2020）

第5讲 直线与平面的夹角、二面角 一、填空题 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________. 2．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________． 3．如图，在长方体 中， ，则二面角 的大小为______． 4．如图，P是边长为2 的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角P­-BD­-A的余弦值为________． 5．已知正三棱锥 的所有棱长都相等，则 与底面 所成角的余弦值为________． 6．如图， 是菱形 所在平面外的一点，且 ， 的长为 ，侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ， 与平面 所成的角为 ，则 ____.  7．已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于________． 8．已知六棱锥 的底面是正六边形， 平面 ， ，则下列结论正确的是_________. ① ； ②平面 平面 ； ③平面 平面 ； ④直线 平面 ； ⑤直线 与平面 所成的角为 9．如图，在斜三棱柱 中， ， ， 在底面 的射影恰为 的中点M，又知 与底面 所成的角为60°，则二面角 的大小为 __________ （用反三角函数值表示）． 10．已知点 在二面角 的棱上，点 在平面 内，且 .若直线 与平面 所成的角为45°，则二面角 的正弦值为______. 11．如图，已知边长为4的菱形 中， .将菱形 沿对角线 折起得到三棱锥 ，二面角 的大小为60°，则直线 与平面 所成角的正弦值为______. 12．如图，在矩形 中， ， ．将 ， 分别沿 ， 向上翻折至 ， ，则 取最小值时，二面角 的正切值是______． 二、单选题 13．在正方体 中， 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 14．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 15．如图，在正方体 中， 为 与 的交点，则 与平面 所成的角是（ ） A． B． C． D． 16．已知平面 内的 ，射线 与 所成的角均为135°，则 与平面 所成的角 的余弦值是（ ） A． B． C． D． 17．如图，在正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 上的动点．给出下面四个命题： ①若直线 与直线 共面，则直线 与直线 相交； ②若直线 与直线 相交，则交点一定在直线 上； ③若直线 与直线 相交，则直线 与平面 所成角的正切值最大为 ； ④直线 与直线 所成角的最大值是 ． 其中，所有正确命题的序号是（ ） A．①④ B．②④ C．①②④ D．②③④ 18．在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则 与平面 所成角的正切值 构成的集合是（ ） A． B． C． D． 三、解答题 19．如图，边长为 的正方形 所在的平面与平面 垂直， 与 的交点为 ， ，且 ． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角正切值． 20．如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE； (2)求AE与平面BDE所成的角的大小. 21．如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点. （1）证明：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 22．已知四棱锥 的底面是边长为2的菱形，且 ， ， . （Ⅰ）若 是 与 的交点，求证： 平面 ； （Ⅱ）若点 是 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值. 23．如图，已知 平面 ． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若 ，求二面角 的大小． 24．如图所示，在长方体 中， ，点E是 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）证明： ； （3）求二面角 的正切值. 25．已知斜三棱柱 的侧面 与底面 垂直， .且 为 中点， 与 相交于点 ． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与底面 所成角的大小. 26．如图，四棱锥 中， ，底面 为矩形，平面 平面 ，O､E分别是棱 ､ 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的大小. 27．如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB＝2DC＝2BC，将 ADE沿DE折起形成四棱锥 ． （1）求证：DE⊥平面ABE． （2）若二面角 为60