2.2 基本不等式（2）课件-2021-2022学年【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式(2) 重要的不等式 复习 基本不等式 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 步骤：一正、 二定、 三相等 基本不等式的应用： 例1 (1)已知x>2, 求y=x+的最小值. (2)已知0<x<, 求函数y=x(1-2x)的最大值.  (3)已知x,y∈R+, 且x+4y=1, 求+的最小值. 例1 (1)已知x>2, 求y=x+的最小值. [解析] (1)因为x>2,所以x-2>0,所以y=x+=x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.所以y=x+的最小值为6. (2)已知0<x<, 求函数y=x(1-2x)的最大值.  (3)已知x,y∈R+, 且x+4y=1, 求+的最小值. (2)已知0<x<, 求函数y=x(1-2x)的最大值.  (3)已知x,y∈R+, 且x+4y=1, 求+的最小值. [解析](2)因为0<x<,所以1-2x>0,所以y=x(1-2x)=×2x×(1-2x)≤ ()2=×=,当且仅当2x=1-2x,即x=时,等号成立,故ymax=. (3)因为x,y∈R+,x+4y=1,所以+=+=5++≥9,当且仅当=,即x=,y=时取等号. 例2　（ １ ） 用篱笆围一个面积为１００的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？ （ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为:矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。 （2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为:矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大。 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm, ym，篱笆的长度为2(x+y)m. (1)由已知得xy=100 由 ，可得