第二节 余弦定理-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练

【课时训练】 第二节 余弦定理 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 【解析】　因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝．故选C． 【答案】 C 2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，ccos A＋acos C＝2bcos B，△ABC的面积S＝，则b等于(　　) A．　　 B．4　　　 C．3　　 D． 【解析】　由题意可得，2sin Bcos B＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B，∴cos B＝，∴B＝．又S＝ac·sin B＝×1×c×＝，∴c＝4．又b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋16－2×1×4×＝13，∴b＝． 【答案】 A 3．设△ABC的三内角A，B，C成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则这个三角形的形状是(　　) A．直角三角形　　 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形　　 D．等边三角形 【解析】　∵△ABC的三内角A，B，C成等差数列，∴B＝． ∵sin A，sin B，sin C成等比数列，∴sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得b2＝ac． 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ， ∴ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c．∴△ABC为等边三角形． 【答案】 D 4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B．－ C． D．－ 【解析】 由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B． 【答案】 B 5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　) A．6 B．3 C．2 D．2或3 【解析】 因为S△ABC＝2＝bcsin A，所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3． 【答案】 D 6．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin A－acos B＝0，且b2＝ac，则的值为(　　) A． B． C．2 D．4 【解析】 在△ABC中，由bsin A－acos B＝0， 利用正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0，所以tan B＝，故B＝． 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac， 又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2． 【答案】 C 7．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　) A．　　　　　　 　　 B． C． D．3 【解析】 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为·＝|－|＝3，所以bccos A＝a＝3．又cos A＝≥1－＝1－，所以cos A≥，所以0<sin A≤，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝，故△ABC面积的最大值为． 【答案】 B 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为(　　) A． B． C． D． 【解析】 当C取最大值时，cos C最小，由cos C＝＝＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3c＋\f(1,c)))≥， 当且仅当c＝时取等号，且此时sin C＝，所以当C取最大值时， △ABC的面积为absin C＝×2c×1×＝． 【答案】 B 9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2．若b∈[1，3]，则c的最小值为(　　) A．2 B．3 C．2 D．2 【解析】 由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3． 【答案】 B 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝(　　) A． B． C． D． 【解析】 由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos