第一节 正弦定理-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练

【课时训练】第一节 正弦定理 1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　) A．2　　 B．1　　　 C．　　 D． 【解析】　由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝． 【答案】 D 2．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　) A．　　 B．π　　　 C．2π　　 D．4π 【解析】　在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，故C＝180°－A－B＝60°． 设△ABC的外接圆半径为R， 则由正弦定理可得2R＝＝，解得R＝1， 故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π． 【答案】 B 3．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况不可能是(　　) A．B＝90°　　 B．C＝120° C．c＝4　　 D．C＝60° 【解析】　∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，C＝60°，c＝4．故选B． 【答案】 B 4．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcos C＝c(1－3cos B)，则sin C∶sin A＝(　　) A．2∶3 B．4∶3 C．3∶1 D．3∶2 【解析】 由正弦定理得3sin Bcos C＝sin C－3sin Ccos B，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，选C． 【答案】 C 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　) A． B． C． D． 【解析】 由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝．已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝． 【答案】 A 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B等于(　　) A．－ B． C．－ D． 【解析】 由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos ＝，故选B． 【答案】 B 7．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解析】 由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝．当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B．因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D． 【答案】 D 8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　) A．3　　　　　　　　　　 B． C．9 D． 【解析】 因为cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B． 【答案】 B 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A． B． C． D． 【解析】 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C·(sin A＋cos A)＝0，因为sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin C＝＝＝，又0<C<，所以C＝．故选B． 【答案】 B 10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【解析】 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A， 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A．∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1， 即A＝，∴△ABC为直角三角形． 【答案】 B 11．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形