专题08 绝对值与方程-【挑战压轴题】2021-2022学年七年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）

2021-2022学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编 专题08 绝对值与方程 一．选择题 1．（2020•浙江自主招生）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（　　） A．a＞﹣1 B．a＝1 C．a≥1 D．非上述答案 【思路引导】令y＝|x|和y＝ax+1．作出图象即可判断出结论． 【完整解答】解：如图， 令y＝|x|和y＝ax+1， 而函数y＝ax+1必过点（0，1）， ∵方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根， ∴直线y＝ax+1与函数y＝|x|在第二象限只有交点， ∴a≥1， 故选：C． 2．（2008•大观区校级自主招生）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而没有正根，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a＜1 C．﹣1＜a＜1 D．a＞﹣1且a≠0 【思路引导】根据x＜0，得出方程﹣x＝ax+1，求出x＝＜0，即可求出答案． 【完整解答】解：∵方程|x|＝ax+1有一个负根而没有正根， ∴x＜0， 方程化为：﹣x＝ax+1， x（a+1）＝﹣1， x＝＜0， ∴a+1＞0， ∴a＞﹣1且a≠0， 如果x＞0，|x|＝x，x＝ax+1，x＝＞0，则1﹣a＞0， 解得 a＜1． ∵没有正根， ∴a＜1不成立． ∴a≥1． 故选：A． 3．已知关于x的方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1 【思路引导】根据绝对值的性质和方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，确定a的取值范围． 【完整解答】解：方法一： ①当ax﹣a≥0， a（x﹣1）≥0， 解得：x≥1 且 a≥0，或者 x≤1且a≤0， ②正根条件：x＞0， x＝ax﹣a，即x＝＞0， 解得：a＞1 或a＜0， 由①，即得正根条件：a＞1 且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1， ③负根条件：x＜0，得：﹣x＝ax﹣a， 解得：x＝＜0，即﹣1＜a＜0， 由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0， 根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取 a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（ 此时0＜x≤1，没负根）． 综合可得，a＞1或a≤﹣1． 故选：D． 方法二：解：如图直线y＝|x|，y＝ax﹣a的图象如图所示： 观察图象可知：当直线y＝ax﹣a与直线y＝﹣x平行时，a＝﹣1， 当直线y＝ax﹣a与直线y＝x平行时，a＝1， 直线y＝ax﹣a与直线y＝|x|的交点在第一象限时，方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根， ∴a≤﹣1或a＞1满足条件． 故选：D． 4．满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有多少个（　　） A．1 B．2 C．3 D．无数 【思路引导】根据绝对值的性质，要分四种情况：当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＜0时，当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＞0时，当x﹣1≥0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时，当x﹣1≤0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时进行讨论，化简绝对值，再解出方程即可求出答案． 【完整解答】解：当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＜0时， x﹣1﹣2（x﹣2）+3（3﹣x）＝4， x＝2， 当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＞0时， x﹣1﹣2（x﹣2）+3（x﹣3）＝4， x＝5， 当x﹣1≥0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时， x﹣1﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4 原方程有无数解， 当x﹣1≤0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时， 1﹣x﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4， x＝1， ∴满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有无数个． 故选：D． 5．若关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，则a的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路引导】根据绝对值的性质可得|x﹣2|﹣1＝±a，然后讨论x≥2及x＜2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a的值． 【完整解答】解：①若|x﹣2|﹣1＝a， 当x≥2时，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1； 当x＜2时，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1； ②若|x﹣2|﹣1＝﹣a， 当x≥2时，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1； 当x＜2时，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1； 又∵方程有三个整数解， ∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0． 即a只能取1． 故选：B． 6．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（　　） A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个 【思路引导】根据绝对值的意义，就是表示一点到另一点的距离，可以对x的范围进行讨论，即可作出判断． 【完整解答】解：|x|+|x﹣2002|是数轴上点