第二章 专题拓展5 一元二次方程与实际问题-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（北师大版）

14.23 15.-19 16.解:(1)因为一元二次方程4kx2-4kx+k+1 =0有两个实数根,则有k≠0.① 又因为Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k≥0, 所以k≤0.② 由①②知k<0时,x1,x2 是方程4kx2-4kx+k +1=0的两个根. 所以x1+x2=1,x1x2= k+1 4k . 则(2x1-x2)(x1-2x2) =2(x21+x22)-5x1x2 =2(x1+x2)2-9x1x2 =2-9× k+1 4k =- k+9 4k . 要使- k+9 4k =- 3 2 ,则k= 9 5. 而k<0,所以不存在实数k,使(2x1-x2)(x1- 2x2)=- 3 2 成立. (2)由x1+x2=1,x1·x2= k+1 4k 可得: x1 x2+ x2 x1-2= x21+x22 x1x2 -2= (x1+x2)2 x1x2 -4 = 1 k+1 4k -4= 4k k+1-4=- 4 k+1. 所以要使 x1 x2+ x2 x1-2 的值为整数,只需k+1能 整除4. 而k为整数,故k+1只能取±1,±2、±4. 因为k<0,所以k+1<1. 所以k+1只能取-1,-2,-4. 所以使 x1 x2+ x2 x1-2 的值为整数的k 的整数值为 -2,-3,-5. 专题拓展5 一元二次方程与实际问题 典型例题 例1 设定价为x 元,则销售量为(700-10x)个,列 方程得(x-40)(700-10x)=2000,解得x1=50,x2 =60,∵每批次进货个数不得超过180个,∴x≥52, ∴x=60,当x=60时,700-10x=700-10×60= 100(个).即应进货100个,定价60元. 变式训练1 (40-x)(20+2x)=1200 变式训练2 (1)y=[6+2(x-1)]×[95-5(x- 1)],整理,得y=-10x2+180x+400. (2)由-10x2+180x+400=1120, 化简,得x2-18x+72=0. 解得x1=6,x2=12(不合题意,舍去). 所以,该产品为第6档次的产品. 例2 (1)y=x(16-x)=-x2+16x(0<x<16) (2)当y=60时,-x2+16x=60,解得x1=10, x2=6. 所以当x=10或6时,围成的养鸡场的面积为 60平方米. (3)当y=70时,-x2+16x=70,整理得:x2- 16x+70=0,由于Δ=256-280=-24<0,此方程无 解,所以不能围成面积为70平方米的养鸡场. 变式训练3 挖渠所占用土地的面 积只与挖渠的条数和渠道的宽度有 关,而与渠道的位置无关.可分别把 东西和南北方向 的 渠 道 移 动 到 一 起,如右图所示.如图,设水渠的宽为 x m,列方程得(162-2x)(64-4x) =9600,解得x1=1,x2=96(不合题 意,舍去). 即:水渠应挖1m宽. 例3 解:直线y= 4 3x+8 与x 轴、y 轴的交点坐标 分别为A(-6,0),C(0,8),∴OA=6,OC=8. 设点P、Q 移动的时间为xs.根据题意,得 1 2 ·2x·(6-x)=8, 整理,得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4. 当x=2时,AP=2,OQ=4,P、Q 分别在OA、 OC 上,符合题意; 当x=4时,AP=4,OQ=8,此时Q 点与C 点重 合,同样符合题意. 即点P、Q 移动的时间为2s或4s时,△OPQ 的面积为8个平方单位. 变式训练4 解:设P、Q 同时运动时间为t秒,∴PB =6-t,BQ=2t,S△PBQ= 1 2PB ·BQ= 1 2 (6-t)× 2t=6t-t2. (1)当S△PBQ=5时,6t-t2=5,解得t1=1,t2 =5. 当t=5时,BQ=10>BC,不合题意,∴t=1. 即1秒后△PBQ 的面积为5个平方单位. (2)S△PBQ= 1 2S△ABC= 1 2× ( 1 2×6×8) =12 时,6t-t2=12,方 程t2-6t+12=0无 解,所 以 △PBQ 的面积不可能等于△ABC 的面积的一半. (3)S△PBQ=6t-t2=-(t2-6t)=-(t2-6t+9 -9)=-(t-3)2+9,当t=3时,-(t-3)2+9有最 大值为9.∴△PBQ 的面积最大为9个平方单位,此 时P、Q 都运动了3秒. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋