第一章 第1节 菱形的性质与判定-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（北师大版）

拓展与培优 数学 九年级上册 北京师范教材适用 参考答案 第一章 特殊平行四边形 第1节 菱形的性质与判定 典型例题 例1 解:四边形ABEB'是菱形.理由如下: 由折叠的性质可得,AB=AB',∠1=∠2,∠3 =∠4. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠4.∴AB∥B'E. ∴四边形ABEB'是平行四边形. 又∵AB=AB',∴▱ABEB'是菱形. 变式训练1 解:四边形DECF 是菱形. 理由:∵DE∥AC,DF∥BC, ∴四边形DECF 为平行四边形. ∵CD 是∠ACB 的平分线,∴∠1=∠2. 又∵DE∥AC,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3.∴DE=CE. ∴▱DECF 是菱形. 例2 解:连接AC. 由AE⊥BC,BE=EC,可得AB=AC. ∵菱形的四条边都相等,∴AB=BC. ∴AB=BC=AC.∴△ABC 为等边三角形, ∴∠ACB=60°.又∵AE⊥BC, ∴∠CAE=90°-60°=30°. 同理可得∠CAF=30°. ∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°. 变式训练2 菱形的边长为 20 4=5. ∵菱形的一个内角是120°, ∴与其相邻的内角为60°, ∴较短的对角线和菱形的边构成的三角形为等 边三角形. ∴较短的对角线长为5. 例3 ∵△ABC、△CDE 都是等边三角形, ∴DE=DC,∠A=∠ACB=∠DCE=∠CED =60°. ∴AB∥CD,DE∥CF. 又EF∥AB,∴EF∥CD. ∴四边形CDEF 是平行四边形. ∵DE=DC,∴▱CDEF 是菱形. 变式训练3 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AO= 1 2AC=3 ,DO= 1 2BD=2. 又∵AD= 13,∴AO2+DO2=AD2. ∴△AOD 是直角三角形,∠AOD=90°. ∴AC⊥BD.∴▱ABCD 是菱形. 例4 解:如图,连接BD 并交AC 于点O. ∵四边形ABCD 是菱形,∠BAD=120°, ∴AB=BC,∠BAC=60°,AC⊥BD, AO=OC,BO=OD.∴△ABC 是等边三角形. ∵AC=6cm,∴AB=BC=AC=6cm. ∴菱形的周长为6×4=24(cm). 在 Rt△ABO 中,AB=6cm,AO= 1 2AC= 3cm, ∴BO= AB2-AO2= 62-32=33(cm). ∴BD=2BO=63cm. ∴S菱形ABCD= 1 2AC ·BD= 1 2×6×63=183 (cm2). 变式 训 练 4 解:(1)∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形, ∴AD=AB,AC⊥BD, OA= 1 2AC ,OB= 1 2BD. ∴∠ADB=∠ABD. ∵∠BAD=120°,∴∠ABO=30°. ∴OA= 1 2AB= 1 2×4=2. ∴OB= AB2-OA2= 42-22=23. ∴AC=2OA=4,BD=2OB=43. (2)S菱形ABCD = 1 2AC ·BD= 1 2 ×4×4 3= 83. 巩固练习 1.B 提示:连接AC,BD 相交于点O. ∵BD 平分∠ADC, ∴∠ADO= 1 2∠ADC=60°. 又∵AD=AB,∴△ABD 为等边三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1· ∴BD=AD.在Rt△ADO 中, ∵AO = AD2-OD2 = AD2- (BD2 ) 2 = AD2- (AD2 ) 2 = 3 2AD , ∴AC=2AO= 3AD.∴BD∶AC= 3∶3. 2.C 3.B 4.(2+1,1) 提示:由∠AOC=45°,OC= 2, 易得C(1,1). 又BC=OC= 2,∴B(1+ 2,1). 5.23 6.C 提示:设∠B=x.由题意知,AB=AE, AF=AD,∠B=∠D,∴∠AEB=∠B=x, ∠AFD=∠D=x. ∴∠BAE=∠DAF=180°-2x. 又∵在菱形ABCD 中,∠BAD+∠B=180°, ∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠B=180°, 即2×(180°-2x)+60°+x=180°. 解得x=80°. 7. 12 5 8.2 提示:由题意可知,以D,D',B',B 为顶点 的四个小三角形是等边三角形,故阴影部分的周长= BD+B'D'=1+1=2. 9.解:(1)由题意